例谈高中数学中化归与转化思想的应用

朱有祥

在高中数学教学中，常遇到一些问题直接求解较为困难，然而通过观察、分析等思维过程，可以将原问题转化为一个新问题，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.

一、用换元法实现化归与转化

（Ⅰ）令a=1，求函数f（x）在x=2处的切线方程；

（Ⅱ）若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围.

分析本题是一个非基本初等函数在某点处切线和单调性的问题.在（Ⅰ）中，把a=1代入函数的解析式后，再求函数的导数，得f（x）在x=2处的切线斜率，最后写出方程.在（Ⅱ）中，先求函数f（x）=x2+2x+alnx（x>0）的导函数f′（x），再令f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，求得a的取值范围. 通过導数的几何意义，把非基本初等函数的切线和单调性问题，化归为求导函数值和不等式恒成立问题，这是导数的重要贡献之一.

分析若从题设入手，三个方程至少有一个有实数根，则需要分为三类，即有一个方程有实根，有两个方程有实根， 有三个方程有实根.而且前两类中又各有三种情况，比较复杂.因此考虑该问题的相反情况即：三个方程都没有实根.求得a的范围后，再在R上求补集.该转化较好地体现了正难反则易的思想.

总之，化归与转化的思想方法是高中数学的一种非常重要的思想方法.因此，掌握好化归与转化的思想方法的特点，对我们学习数学是非常有帮助的.