函数与方程思想的应用

张万库

函数与方程是两个不同而又联系密切的概念。函数是两个非空数集的元素x，y之间的对应关系，这种对应关系未必都能表示成解析式，函数研究的是由x怎样确定y，y的变化具有怎样的特征等。方程是含有未知数的等式，未知数的个数可以是若干个，方程研究的是有没有未知数的值使方程两边相等，以及有多少个（组）未知数的值使方程两边相等。如果将x，y视为未知数，则函数y=f（x）就可看成是方程y-f（x）=0，即F（x，y）=0，反之，如果将x，y视为变量，则方程F（x，y）=0就可确定一个（或几个）函数y=f（x）。函数y=f（x）的零点就是方程f（x）=0的实数解，方程f（x）=g（x）的实数解就是函数f（x）与g（x）的图像交点的横坐标。利用函数与方程的内在联系，可以用函数的定义、图像、性质解决方程的问题，也可以用方程的同解变形、求解方法解决函数的问题。这就是函数与方程思想的内涵之一。函数与方程思想的这一内涵在历年的高考中都有直接或间接的考查。

例1 若方程8x=x+b有两个不相等的实根，求b的取值范围。

解：由题意可知，对应函数应有两个不同零点。