函数的应用知识点及考点解读

王国平

一、知识点解读

1.函数的零点

（1）函数零点的定义：对于函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点。（2）几个等价关系：方程f（x）=0有实数根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点。（3）函数零点的判断（零点存在性定理）：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根。

2.二分法求方程的近似解

（1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f（a）·f（b）<0的函数y=f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。（2）用二分法求函数f（x）零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f（a）·f（b）<0，给定精确度ε。②求区间（a，b）的中点c。③计算f（c）。若f（c）=0，则c就是函数的零点；若f（a）·f（c）<0，则令b=c（此时零点x0∈（a，c））；若f（c）·f（b）<0，则令a=c（此时零点x0∈（c，b））。④判断是否达到精确度ε。若|a-b|<ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复②③④。

3.常见的函数模型

（1）一次函数模型：f（x）=kx+b（k、b为常数，k≠0）。（2）反比例函数模型：f（x）=kx+b（k、b为常数，k≠0）。（3）二次函数模型：f（x）=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）。（4）指数函数模型：f（x）=abx+c（a、b、c为常数，a≠0，b>0，b≠1）。（5）对数函数模型：f（x）=mlogax+n（m、n、a为常数，a>0，a≠1）。（6）幂函数模型：f（x）=axn+b（a、b、n为常数，a≠0，n≠1）。（7）分段函数模型：这个模型实际是以上两种或多种函数模型的综合，因此应用也十分广泛。（8）函数y=x+ax（a>0）模型的应用。

说明：二次函数模型是高中阶段应用最广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见。随着新课标的实施，指数函数模型、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色。

4.几类不同增长的函数模型及其增长差异