浅谈解析几何题的解题策略

刘峰

摘 要：解析几何中经常碰到处理取值范围的问题，这类问题着重考查解析几何与函数的综合运用. 下文以一道高三一模调研题为例，在用常规思路，通解通法的前提下，分析此类问题的切入点及后续处理方法.

关键词：解析几何；求解策略；调研试题

解析几何中经常碰到处理取值范围的问题，这类问题着重考查解析几何与函数的综合运用. 在这类问题中，往往最终化为函数值域问题，此时选取合适的变量尤为重要，所选变量最终决定函数形式及处理的繁简；此外，此类问题的切入点往往是直接或间接设点或直线，切入点的选取往往又直接决定了变量的选取.

下文以一道高三一模调研题为例，在用常规思路，通解通法的前提下，分析此题的切入点及后续处理方法. 笔者就此问题的解题思路、策略进行了整理归纳. 不妥之处，望同仁斧正.

题目：（2013年苏锡常镇四市高三调研第19题）已知椭圆E：+y2=1的左、右顶点分别为A，B，圆x2+y2=4上有一动点P，P在x轴上方，C（1，0），直线PA交椭圆E于点D，连接DC，PB.

（1）若∠ADC=90°，求△ADC的面积S；

（2）设直线PB，DC的斜率存在且分别为k1，k2，若k1=λk2，求λ的取值范围.

（1） 思路分析：在Rt△ADC中，已知斜边AC=3，要求S△ADC，因为S△ADC=DA·DC①或S△ADC=AC·高②，无论选用公式①还是公式②都离不开对点D的求解.下面给出3种常见解题策略.

策略1：设点D（xD，yD）→

DA2+DC2=AC2，

D在椭圆E上或kDA·kDC=-1，

D在椭圆E上或

D在椭圆E上，得D坐标→DA，DC→S△ADC=DA·DC；

策略2：（同策略1）→D坐标→S△ADC=AC·

策略3：设kDA→kDC=-→kDA，D→lDA，

kDC，C→lDC→交点D（用kDA表示）在椭圆E上→kDA→lDA，

椭圆E→D坐标→S△ADC=AC·

说明：策略1与策略2直接设点D坐标求解，策略3间接设斜率kDA，求解出点D坐标，进一步计算求解. 3种策略思路清晰，想法简洁，从计算量及充分运用题目条件两个角度讲，策略2为第1小问的首选解题策略.

（2）思路分析：由条件出发，点D，C及kAP，k1，k2都为未知变量，则解题时可从设点（D（xD，yD），P（xP，yP））或设斜率（kAP，k1，k2）入手；从所要求目标思考，要求λ的取值范围，就是要求的取值范围，从而只要将化为关某个变量（xD，yD，xP，yP，kAP，k1，k2）的函数，进而求解此函数的值域即可.

策略1：设点D（xD，yD）→kDA=kPA，

kPA·k1=-1→k1，

D，C→k2，→λ=

（用xD，yD表示），

D在椭圆E上，

→λ=（关于xD（或yD）的函数）；

策略2：设点P（xP，yP）→P，A→

l，

椭圆E→点D坐标→D，C→k2，

P，B→k1→λ=

（用xP，yP表示），

D在椭圆E上，→λ=（关于xP（或yP）的函数）.

策略3：设kAP=k，A→lAP，椭圆E→D，

lAP，圆→P→D，C→k2，

P，B→k1→λ=（用k表示）；

策略4：k1，B→lPB，

圆→点P坐标→P，A→lPA，

椭圆E→点D坐标，C→k2（关于k1的函数）→λ=（关于k1的函数）；

策略5：k2，C→lDC，

椭圆E→点D坐标→D，A→lDA

圆→点P坐标，B→k1（关于k2的函数）→λ=（关于k2的函数）；

策略6：k2，C→lDC，

椭圆E→点D坐标，A→kAD（关于k2的函数）→k2=-→λ=（关于k2的函数）；

策略7：A，C，设D（xD，yD），

D在椭圆E上→kDA·k2（关于xD（或yD）的函数）→λ==（关于xD（或yD）的函数）.

说明：策略1、2直接从设点，策略3—6从设斜率出发，单刀直入，一算到底，思维量小，虽计算量稍大，但属于常规解法，易于入手，其中策略2—6都涉及直线方程与椭圆（或圆）方程的联列，消元化为一元二次方程处理，此时若注意直线与椭圆（或圆）的两交点中的一点A（-2，0）已知，则另一点的坐标实已跃然眼前；策略7考虑了几何性质，大大降低了计算量，无疑是第2小问的最佳解题策略.

一点感受：数学学习离不开解题，学生对数学概念的理解和掌握就是通过解题来完成的，所以教会学生怎么解题是教师必须认真思考的问题，它也将直接影响学生学习的有效性. 在教学中，教师要展示的往往是正确结论和简洁的过程，问题的解决也是一帆风顺，但在学生实际的解题过程中，往往是充满艰辛和错误. 遇到一些较难题时，学生的思维一时不能到达，而采用将题目的求解过程整体展示，这样学生的思维参与度就很底.

我们要提升解题教学的效率，就必须准确把握学生的思维习惯以作为解题策略生成的起点，从常规思路出发，从通性通法入手，逐层深入，展示其自然性；对于超出学生思维习惯、认知基础的解题策略，教师可以深入挖掘其合理性，层层揭示.