解析几何解答题失分原因之剖析

洪昌强　胡小莉

摘 要：高考中解析几何解答题学生经常出现“会而不对，对而不全”的局面，究其原因是：（1）选择参数随意；（2）建立等式随意；（3）消参数随意；（4）等式变形随意.

关键词：交点；等式；变形；参数；原因；随意

[?] 题目呈现

（浙江高考2009年文科第22题第2问）已知抛物线C：x2=y上一点P的横坐标为t（t>0），过P的直线交C于另一点Q，交x轴于点M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N. 若MN是C的切线，求t的最小值.

分析 根据已知条件知Q，M，N都是直线与曲线的公共点，绝大多数的学生按题目条件给出的三点Q，M，N的先后顺序，通过三次求解方程组，分别求得Q，M，N的坐标. 思路1虽然自然合理，但从以上推理过程看出运算量较大，且各点坐标表达式比较繁杂，这样在计算上犯错的机会增大.

分析 与思路1比较，虽然Q点坐标不需要求，解方程组的次数少了一次，但表达PQ与QN的直线斜率没有思路1简便，这样对求M，N点坐标及求过N点的切线方程仍然麻烦.

分析 这是一道解析几何综合题，主要涉及直线与直线、直线与抛物线的交点处理. 思路1、思路2、思路3分别选择了以直线PQ的斜率k和Q，N的横坐标为参数. 思路4设出了P，Q，N三点的横坐标，与前三种思路相比，虽然多设了一个参数，需要建立二个关于t，x0，x1的关系式，但只要发挥“垂直”与“三点共线”的重要特征，这两个等式还是容易建立. 这样省略了解直线与抛物线联立方程组，运算量大减，并且各点坐标的表达式都比较简洁. 思路4是本题最优思路.

由以上解法讨论知，本题各种解题思路主要区别在于对Q，N，M三点坐标的处理方式不一样，及建立等式方法不相同.笔者对本校高三年级1098名学生中随机抽取140人，对本题进行了一次测试，测试时间为15分钟，并将各种解题思路的人数进行统计，见表1、表2：

[?] 原因剖析

对140份测试卷的正确答案人数进行统计，有18人得出t的最小值为，其中满分的仅有4人. 是什么原因导致这样的“坏”结果？学生的解题思维过程中哪些方面存在着问题？产生这些问题的根源又是什么？值得深思.

1. 思维定式导致选择参数随意

直线与圆锥曲线公共点的坐标常用处理方法：一种是通过解方程组直接求出公共点坐标，此法有时会做许多“无用功”. 另一种方法是“设而不求”，此法“设参”是解题起点，也是解题最重要的一步，这一步没做好，就会影响整个解题的大局. 从表1、表2知，大部分学生采用思路1. 事实上，思路4明显要比前三种思路简洁，为什么大部分学生都想不到，其原因何在？其一，人教A版教科书中所有例题，凡是涉及直线与圆曲线交点问题都是通过解方程组方法求出交点，并在第二章圆锥曲线与方程的小结中强调“直线与圆锥曲线有无公共点，等价于它们的方程组成的方程组有无实数解”. 平时教学中，教师十分强调通过解方程组求交点，并且布置一定量的题目进行强化训练，学生通过解方程组求出交点坐标，形成了一种思维定式. 其二，笔者与选用思路1的学生座谈时，了解到他们的解题思路就是按题目的已知条件先后顺序进行求解，并没有对题目的各条件从整体上把握. 在这样的解题思维下，设直线PQ方程是必须的， 设直线PQ的斜率为参变量成为“自然”. 其三， 平时使用设参数解题，一些学生对引进参数的作用缺乏透彻的理解，只是模仿照搬. 分析表明，大多数学生受思维定式的影响，只会按照固有的思路套用模式解题，不会自己分析推理解决问题.从表1知，有88.6%的人采用了思路1，与实际相吻合.

2. 缺少对几何特征的挖掘，导致建立等式随意

解析几何问题离不开图，图形的几何特征是解题思维的重要信息，解题者根据图形中反映出来的几何特征，从中提炼出有关的数量关系，通过设未知量建立方程，将几何问题转化为代数问题. 而如何建立所需要的“好”方程，是处理好有关几何问题的关键. 本题涉及四个点P，Q，N，M，因为Q是直线PQ与抛物线的交点，M是与PQ互相垂直的直线QM与抛物线的交点，N是抛物线在M点处切线和直线PQ以及x轴的公共点. 由此知道本题当P点确定后，Q，N，M也随之确定，即Q，N，M的坐标与t存在着一定依存关系. 其关系式如何建立呢？“QN⊥PQ”和“MN是C的切线”是本题最突出的几何特征，如何将它们用数量关系加以表达呢？QN⊥PQ其数学含义可理解为kPQkQN=-1，更进一步理解为（x0+x1）（x1+t）= -1或（x0+x1）=-1或（x0+x1）= -1. “MN是C的切线”其数学含义可理解为：抛物线在N点的切线过M点，或过N点的抛物线切线与x轴交点在直线PQ上，或M，N两点连线斜率等于函数y=x2在N点处的导数.更深入一步，可将“Q，P，M三点共线”等价转化为两斜率相等，或一点坐标满足由另两点所成的直线方程，可将“QP，NM，x轴三线共点”等价转化为两直线交点坐标满足另一直线方程. 从表1、表2知，有18人使用“三点共线或三线共点”，只有5人使用了思路4，这5人中仅有一人由QM⊥QN列出方程组（x0+x1）（x1+t）=-1，

（x1+t）=

，并且得到了正确的答案. 另有4人建立的方程组为（x0+x1）（x1+t）=-1，

（x0+x1）

=-1，或（x0+x1）（x1+t）=-1，

（x0+x1）

=-1，这样不仅增加了运算量，而且增大了消参数的难度，此法无一人得到正确结论.从中看出，同一个条件对其数学含义的理解不一样，处理方式也不同，所产生的解题效果也不一样. 分析表明，大多数学生对条件“QN⊥PQ”和“MN是C的切线”只停留在表层而浅显的理解，在列等式时只顾眼前一点方便，没有“长远”眼光，缺少全局观念，解决问题的视觉比较局限.

3. 整体思想意识薄弱，导致消参数随意

思路4由于引进了两个参数x0和x1，需要建两个等式. 由QM⊥QN可以得到以下三种方案：

方案1：（x0+x1）（x1+t）=-1，

（x1+t）=

，

方案2：（x0+x1）（x1+t）=-1，

（x0+x1）

=-1，

方案3：（x0+x1）（x1+t）=-1，

（x0+x1）

=-1.

求t的最值时需要消去x0和x1的一个. 消去哪个？怎么消？由于学生在初中解二元方程组时经常运用代入消元法，对此法学生比较熟练. 若直接采取代入消元法消参，以上各方案运算量都较大. 以上三种方案的方程组结构表面形式虽然不同，但从整体思想去考虑，不难得到三种方案的方程组都等价于（x0+x1）（x1+t）=-1，

2x1t=x0（x1+t），至此若由2x1t=x0（t+x1），得x1=，再代入（x0+x1）（x1+t）=-1，得6x0t3+t2（4-2x）+x-4x0t=0，此式结构较繁杂，按这种思路做的5人中只有一人结论正确.

若继续从整体思想去考虑，由（x0+x1）（x1+t）=-1得x0（x1+t）+x1（x1+t）=-1，通过整体代入消去x0，得x+3x1t+1=0. 此式简洁，容易联想到判别式，可惜会此解法的仅有一人.

解析几何不仅会列出等式，而且要列出“好式”，同时会有“好法”处理方程. 思路4中最优解法，充分发挥了曲线的几何特征作用，快捷而简便地建立方程组. 在消参数时，又抓住了式子的结构特征，灵活运用了整体思想，做到对症下药，事半功倍.

4. 逻辑思维不严谨，导致等式变形随意

用思路1、思路2做的学生中，有81人写出-

. 由此可见，当今的高中学生，对含多个字母的代数式运算变形能力比较薄弱. 从学生答题情况了解到，本题按题意能写出k2+tk+1-2t2=0，或x（2t2-1）+x0（4t-6t3）-4t2=0，或x+3x1t+1=0共有38人，其中24人使用判别式求t的取值范围，仅有一人想到先验证等号成立条件，再下结论t的最小值为；有11人按求根公式将t表达成关于k的关系式；有3人利用函数思想将x+3x1t+1=0转化为t=-

x1+

，然后利用不等式公式求t的最值， 其中有2人验证了等号成立的条件，表明学生对判别式的理解比较肤浅，运用也不习惯. 学生在解答过程中产生这些现象主要原因包括：第一，初中对判别式要求比较低，主要是对一元二次方程实根的存在性的判定，而且方程式往往是一般式或较“接近”一般式，未知数通常情况下是采用字母x，设问比较直截了当，而此题所涉及的方程式没有明显表明是一元二次方程，而且式子含有多个字母，需要学生自己去观察发现，并确定未知数是哪一个. 对于一些在新情景下知识迁移能力薄弱的学生来说，就很难联想到利用判别式进行处理. 第二，在学习导数和不等式公式时，高中教师过分强调导数和不等式公式在求最值（极值）时的作用，相应判别式的作用被忽视.第三，暴露出学生思维缺乏严谨性，因为利用判别式得到的t≥仅说明二次方程实根存在， 并不能保证t=时满足条件的k（或x0，x1）就一定存在. 所以，必须验证当t=时，P，Q，N存在后，才能得出t的最小值为. 以上分析表明，影响高考解析几何解答题得分率低的因素是多方面的，而运算推理能力不足，是导致学生解题时出现“会而不对，对而不全”的重要原因之一.

[?] 建议

如何做到解析几何解答题少失分或不失分？首先，要求学生审题时舍得花时间，能全方位、多角度地考虑各种解题方法的利弊，在选择参数和列方程时应增强解方程的“忧患”意识，引进“谁为参数？设几个？”都要做到心中有“未知数”；其次，重视数形结合，挖掘其几何特征，找准曲线上的关键“点”，并用联系的眼光审视条件与条件、条件与结论之间的关系，准确选择参数，建立“高效”的方程；第三，解析几何用代数方法研究几何问题，解题过程中存在一定的运算量和繁杂的运算在所难免，要想考试在运算时少出差错，平时就要养成良好的运算习惯，在运算过程中多思考有无更好的算法，在算出结果下结论之前先检查有无错算或漏算. 俗话说，“习惯成自然”，总之，解题的每个环节都要做到“深思熟虑”，克服随意性.