谈圆锥曲线中的方程思想

苏金凤

数学思想方法是在一定的数学知识、数学方法的基础上形成的数学意识和方略，它对理解、掌握、应用数学知识和数学方法，解决数学问题能起到促进和深化的作用.圆锥曲线是解析几何乃至高中数学重要内容，也是数学思想方法的重要载体，方程的思想方法在圆锥曲线中有着广泛的应用.

在解决数学问题时，对于一些形式上看是以非方程的问题出现时，但经过一定的数学变换或构造，使这一非方程问题转化为方程形式并应用方程的有关性质处理这一问题，进而使数学问题得到很好的解决，这一思想方法称之为“方程的思想方法”.

我们知道，圆锥曲线是解析几何的重要内容，而解析法就是借助于坐标用代数方法解决几何问题的方法.由于圆锥曲线都和方程存在一一对应关系即圆锥曲线上的任一点的坐标是其方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，因此可以把许多圆锥曲线问题用解方程或利用方程的性质来解决.如圆锥曲线定义应用问题，圆锥曲线几何性质问题，求方程问题，关于交点及弦长问题等，都可抛开具体曲线而从方程入手加以解决.

一、关于圆锥曲线的定义应用问题

圆锥曲线是满足条件的动点的轨道，由定义可得到动点所满足的条件，而将此条件用坐标表示后即得圆锥曲线方程，曲线上任一点都满足曲线方程，从而可抛开具体几何图形，用方程的思想方法着手解决一些问题.

例如：已知椭圆■+■=1上一点到其一个焦点的距离为3，求此点到另一焦点的距离.

解此题需按椭圆的定义列出方程，解方程得此题结果为7，关键在于按定义列出方程.

二、关于圆锥曲线的几何性质问题

椭圆、双曲线、抛物线的简单几何性质均为可抛开具体圆形，而只对其方程进行研究得到，如椭圆的几何性质如范围、对称性、顶点、离心率、准线等可直接从方程■+■=1（a>b>0）得到，雙曲线、抛物线的几何性质同样从其方程可得到.在有关圆锥曲线性质问题中，只要按其性质列出方程即可求解.

例如，已知椭圆■+■=1和双曲线■+■=1有公共焦点，求双曲线的渐近线方程.

此题用方程的思想方法求解.注意到双曲线焦点在x轴上，渐近线为y=±■，椭圆焦点也在x轴上，只需由已知列方程：C■=3m2-5n2=2m2+3n2=C■解得■=■，所以渐进线方程是y=±■.

三、关于求方程问题

求曲线方程是圆锥曲线部分一种重要题型，所用方法一般有待定系数法、定义法、直译法，相关点法.前两种方法多用于能确定动点轨迹类型时，由型定方程，由已知定参数，后两种方法多用于有直接或间接等量关系时，按等量关系列出方程从而可求出方程.

例如：双曲线上有动点■-y2=1是双曲线的两个焦点，求△PF1F2的重心M的轨迹方程.

此题中M点的运动受到P点的制约，而P点在已知曲线上运动，所以只要找到从M点的坐标和P点的坐标间的关系，将P点的坐标用M点的坐标表示出来，即找到M点和P点坐标之间的等量关系，代入已知曲线方程问题就容易解决了.

四、关于交点及弦长的问题

对于直线与圆锥曲线交点及弦的问题，往往用直线方程与圆锥曲线联立得出方程组，若无解，则直线与曲线无交点，若有一解，则直线与曲线有一个交点，若有两解则直线与曲线有两交点.而交点的横坐标与方程组消去y所得关于x的方程的解相等，纵坐标与方程组消去元x所得关于y的方程的解相等.若所得一元二次方程，判别式适用、韦达定理适用，则“设而不求”是解交点及弦长问题中常用的方法.“不求”不代表“不用”，用什么呢？主要是用方程的根与系数的关系，直线斜率与方程的根之间的关系，及相关点坐标之间关系.

例如：点M（1，1）位于椭圆■+■=1内部，过点M的直线与椭圆相交于两点A、B，且M为线段AB的中点，求直线AB的方程及 的值.

此题是求弦所在直线方程和弦长的题目，考虑到A、B两点在椭圆上，设A（x1，x2），B（y1，y2）代入椭圆方程成立，作差可出现含 x1+x2，x1-x2，y1+y2，y1-y2的等式，而■为直线的斜率，又M为线段AB中点，即有x1+x2=2，y1+y2=2，从而直线的点斜式方程易得.在求弦长AB时，A、B为直线与椭圆的交点，从而A、B两点的横坐标为直线方程与椭圆方程消去y得关于x的一元二次方程的两根，从而由韦达定理可得x1+x2，x1x2的值，再由弦长公式AB=■可得AB的值.

由以上可见，方程的思想方法在圆锥曲线中比较重要，只有熟悉圆锥曲线的相关基础知识与方法，才能抓住相等关系，列出方程或构造方程，自如地运用方程思想解决圆锥曲线问题.

（作者单位 陕西省榆林第二实验中学）