如何妙学垂径定理

李朝碧

摘 要：学习任何知识，激发学生学习积极性是最重要的。学习某种定理首先要理解，随后巧妙记忆，最后加以运用。

关键词：垂径定理；积极性；理解；记忆；运用

学好垂径定理是学好圆的关键，对农村学生来说，要学好垂径定理，所花费的时间和精力就要比别人多得多。他们不能通过大量的资料查找，只能仔细地观察生活，从生活中提炼有关垂径定理的知识，并用于指导他们学会更好地生活。通过多次的学习与交流，我总结出了农村学生学好垂径定理的小小妙招。

一、激发学生的学习积极性

观察现实生活中与垂径定理有关的事物，组织编题，并提问，从而激发学生的学习兴趣，让他们愿意思考，勇于探索。例如，某地（当地地名）有一石拱桥是圆弧形，正常水位下水面宽是50 m，水面到桥拱的距离为12 m，每年端午节可能涨水，涨水时，水面到拱桥的距离不能低于2 m，否则就要采取应急措施，如果今年涨水时水面宽为25 m，请问是否要采取应急措施。这是学生生活中可能会遇到的问题，所以许多学生都会思考到底用什么知识来解答。遇到这樣的问题可以让学生积极地交流、讨论。经过讨论，学生得出好几种实用的解决办法。

比如，（1）在拱桥中央用一根2 m长的竹竿去测。（2）在拱桥中央吊一根2 m的绳索去测，绳索接近水面的一端固定重物。学生各抒己见，与此同时我们要考虑拱桥足够高时又该怎么办，因此我也和学生交流一下我的方法（可以利用这个理论知识解决半径足够长时的圆的问题）：要求当涨水时，水面宽为25 m时是否采取应急措施，只要求出桥拱到水面的距离。当这距离小于25 m时，则无需采取应急措施，因此只有求出桥拱的半径R，然后运用几何代数式解求R。解：不需要采取应急措施。设桥拱的半径为R，则：R-（R-12）=25，解得R=32。当拱桥与水面距离为2 m时，水面宽应为2×32-（32-2）=24。∵25>24∴当水面宽为25 m时，水面与桥拱距离大于2 m，无需采取应急措施。

二、引导学生正确理解垂径定理

垂径定理是由圆具有对称性引申而来的。讲解垂径定理要先让学生复习弦、弧、直径、轴对称图形的性质，特别是对称轴垂直平分对应点的连线段。由对称轴垂直平分对应点的连线段引申到弦、弧、直径的关系。具体操作如下：①在纸上画一圆，标明直径AB；②沿AB对折，在两半圆上任找一重合点记为C与D；③打开，连接C、D；④把AB和CD的交点记作E，圆心记为O，根据轴对称图形的性质可知AB垂直平分CD，通过实际操作得AC与AD重合，BC与BD重合，CE与DE重合，由此可得出：若AB是直径，且AB⊥CD，则AC=AD，BC=BD，CE=DE。描述为：垂直于弦的直径平分弦所对的两弧（优弧和劣弧）。题设：圆的直径垂直于弦。结论：弦被直径平分，弦所对的两条弧也被平分。

三、巧妙记忆，推出垂径定理的推论

垂径定理包含五点内容：①过圆心的直径；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。其中任取两个作为题设，另外三个作为结论都是成立的。例如，已知平分于弦的直径，垂直于弦并且平分于弦所对的优弧和劣弧。

四、运用所学解决问题

在运用垂径定理解决问题时，我们往往会发现：

1.图形在变化，因此我们就必须掌握它有哪些变式？

①求平行弦之间的距离（弦在直径的同侧或异侧）。例如，把两根很直的木棍平行放在簸箕里，已知木棍的长度分别是1.2 m和0.8 m，而簸箕的半径为1 m。问：这两根木棍之间的距离是多少？这是现实生活中同学们常见的两样东西，所以他们会很快想出有两种方法，把簸箕看成一个圆。一种方法是把木棍放在直径的同侧；另一种是放在直径的两侧。方法想出后，请同学把实际问题抽象化，求出两根木棍间的距离。本题容易忽略第二种方法，本题体现了数学中常用的分类讨论思想，由于圆是轴对称图形，涉及圆内两平行弦的几何问题，在解题时一定要考虑全面，分类求解不能漏解。②垂径定理往往要与勾股定理结合。作图时常常要构造直角三角形，再利用勾股定理计算。

2.解题时，还需作辅助线，那就需要提供正确的添加辅助线的位置。

（作者单位 贵州省仁怀市火石岗中学）