对一道教材习题的解法探究

江宝龙

摘 要： 教材是学生学习的根，是学生发展思维的源.教学过程中应充分体会编者对内容处理，体会新课程的理念，加深学生对知识的理解，锻炼学生的思维能力.教材习题是经过专家精心挑选的，充分地挖掘教材习题，深化习题教学，创造性地使用教材习题，可以调动学生的学习积极性，发展学生的思维能力，大大提高学习效率，收到事半功倍的效果.

关键词： 教材习题 构造法 发散思维

一、原题再现——重视课本知识

人教版《数学》选修4-5习题1.1第11题：

题目：已知a，b.c∈R■，a+b+c=1，求证：a■+b■+c■≥■.

《教师用书》证法：3（a■+b■+c■）=2（a■+b■+c■）+（a■+b■+c■）

=（a■+b■）+（b■+c■）+（a■+c■）+（a■+b■+c■）

≥2ab+2bc+2ac+a■+b■+c■=（a+b+c）■=1

所以a■+b■+c■≥■.

二、编者意图——加深方法理解

该证明方法从所要证明的结论出发，通过“构造”方法，将a■+b■+c■构造成基本不等式形式，构造出a+b+c=1的定值，巧妙地与（a+b+c）■联系在一起.笔者在教学过程中发现，学生容易从条件的平方入手，借助于基本不等式证明该结论.但编者为什么要从结论出发呢？笔者认为是“构造”方法的渗透.在选修4-5不等式选讲中，从绝对值的三角不等式到基本不等式在到柯西不等式和排序不等式，无不体现“构造法”在解题中的优越性，同时构造法也是数学中的一种重要的方法.教材是学生学习的根，是思维方法的源，仔细研究教材，体会编者的意图，在教学中加以渗透，既能加深学生对知识的理解，又能锻炼学生的思维能力.

三、一题多解——发散学生思维

法二：（a■+b■+c■）（1■+1■+1■）≥（a+b+c）=1

所以3（a■+b■+c■）≥1，即a■+b■+c■≥■.

此方法巧妙地构造柯西三维不等式的形式，利用柯西不等式对其进行证明，证明简洁，容易理解，但要求对柯西不等式的基本形式理解透彻.

方法三：

设f（x）=（a■+b■+c■）x■+2（a+b+c）x+3.

因为f（x）=（a■+b■+c■）x■+2（a+b+c）x+3

=（a■x■+2ax+1）+（b■x■+2bx+1）+（c■x■+2cx+1）

=（ax+1）■+（bx+1）■+（cx+1）■≥0，

所以f（x）≥0恒成立，

所以Δ≤0，即4（a+b+c）■-12（a■+b■+c■）≤0，

又因为a+b+c=1，所以a■+b■+c■≥■.

此方法由柯西不等式的证明方法启发得到.巧妙地构造出一个二次函数，转化成判别式即得到所有结论.

方法四：

设a=■+Δ■，b=■+Δ■，c=■+Δ■，其中Δ■+Δ■+Δ■=0.

因为a■+b■+c■=（■+Δ■）■+（■+Δ■）■+（■+Δ■）■

=■+■（Δ■+Δ■+Δ■）+（Δ■■+Δ■■+Δ■■）

=■+（Δ■■+Δ■■+Δ■■）≥■，

所以a■+b■+c■≥■.

图1 图2

方法五：

定义1：如果函数f（x）对其定义域中任意的x■，x■都有如下不等式f（■）≤■[f（x■）+f（x■）]（f（■）≥■[f（x■）+f（x■）]）成立，则称f（x）是下凸（凹）函数（如图1）（上凸（凹））函数（如图2）.

定理1（詹生不等式）若函数f（x）在区间I是上凸函数，则有不等式：

f（q■x■+q■x■+…+q■x■）≥q■f（x■）+q■f（x■）+…+q■f（x■）（3）

若函数f（x）在区间I是下凸函数，则有不等式：

f（q■x■+q■x■+…+q■x■）≤q■f（x■+q■f（x■）+…+q■f（x■）（4）

其中x■∈I，q■>0，i=1，2，…，n；q■+q■+…+q■=1.

詹生不等式由函数的凸凹性得到，函数的凸凹性在人教必修一第53页复习参考题B第5题得以渗透.

证法：因为a，b，c∈R■所以构造（0，+∞）的下凸函数f（x）=x■.

由詹生不等式得■≥f（■），

即■≥f（■）=■，所以a■+b■+c■≥■.

四、结论推广——归纳一般结论

1.a，b，c，d∈R■，a+b+c+d=1，求证：a■+b■+c■+d■≥■.

2.a■，a■，a■…a■∈R■，a■+a■+…+a■=1，求证：a■■+a■■+…+a■■≥■.

五、高考链接——回归教材根源

2013新课标（Ⅱ）卷理科选修4-5：

已知a，b，c，∈R■，a+b+c=1，求证：ab+bc+ac≤■.

2013湖北理科13题：

x，y，z∈R，x■+y■+z■=1，x+2y+3z=■则x+y+z=？摇？摇？摇？摇.

参考文献：

[1]人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书数学选修4-5[M].北京：人民教育出版社，2012.

[2]中华人民共和国教育部.数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2009.

[3]刘玉琏.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，2003.

[4]数学课程标准研制组.普通高中数学课程标准（实验）解读[M].江苏：江苏教育出版社，2007.