高中数学恒成立问题的求解策略

肖常定

摘 要： 对于恒成立问题，一些学生经常是束手无策，不知道从哪里下手，找不到问题的突破口，因而感觉十分困难.如果运用方程和函数思想，采用换元、化归、数形结合的思想方法，其实恒成立问题是不难解决的.恒成立问题有利于考查学生的综合解题能力，也是历年高考的一个热点.本文就高中数学恒成立问题的求解策略作一些归纳和总结，以飨读者.

关键词： 高中数学 恒成立问题 思想方法 求解策略

一、二次函数型——利用“判别式△”求解

1.不等式ax■+bx+c>0（a≠0）恒成立的充要条件是：a>0△=b■-4ac<0

2.不等式ax■+bx+c<0（a≠0）恒成立的充要条件是：a<0△=b■-4ac<0

若条件中的不等式含“=”号，则将上述条件中的△<0改为△≤0即可.

3.二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理及根的实根分布知识求解.

例1：不等式（m■-1）x■+2（m-1）x-1≤0对任意x∈R都成立，求实数m的值.

解：当m■-1=0即m=±1时，分别代入已知不等式，知m=1符合题意；

当m■-1≠0时，由题意可得m■-1<0△=4（m-1）■+4（m■-1）■≤0，解得0≤m<1.

综上可得，实数m的取值范围是0≤m≤1.

例2：已知函数f（x）=x■+ax+3-a，若x∈[-2，2]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围.

分析：要使x∈[-2，2]时，f（x）≥0恒成立，只需f（x）的最小值g（a）≥0即可.

解：f（x）=（x+■）■-■-a+3，令f（x）在[-2，2]上的最小值为g（a）.

（1）当-■<-2，即a>4时，g（a）=f（-2）=7-3a≥0，∴a≤■，又a>4，

∴a不存在.

（2）当-2≤-■≤2，即-4≤a≤4时，g（a）=f（-■）=-■-a+3≥0，

∴-6≤a≤2，又∵-4≤a≤4，∴-4≤a≤2.

（3）当-■>2，即a<-4时，g（a）=f（2）=7+a≥0，∴a≥-7，又a<-4，

∴-7≤a<-4，

综上所述，a∈[-7，2].

说明：此题属于含参数的二次函数最值问题，且属于轴变区间定的情形，应对轴与区间的位置进行分类讨论；还有与其相反的，轴动区间定的情形，方法类似.

二、利用“特殊值”求解

等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对选择题、填空题能很快求得结果.

例3：如果函数f（x）=sin2x+acos2x的图像关于直线对称x=-■，那么a=（？摇？摇？摇？摇）

（A）1？摇？摇？摇？摇（B）-1？摇？摇？摇？摇（C）■？摇？摇？摇？摇（D）-■

解：取x=0及x=-■，则f（0）=f（-■），即a=-1，故选B.

三、利用“主元”求解

在错综复杂的各种矛盾中，抓住了主要矛盾，就犹如抓住了一根主线，从而使次要矛盾迎刃而解.同样地，在数学问题中，由于多变元的干扰，常会使学生思维的头绪，陷入众多繁复的岔道中，剪不清，理还乱，而如若分清主次，抓住主元，则犹如抓住一根主线，一目了然.

例4：对于满足|p|≤2的所有实数p，求使不等式x■+px+1>2x+p恒成立的x的取值范围.

分析：在不等式中出现了两个字母x和p，关键在于把哪个字母看成变量，另一个作为常数.因为p的范围已知，故本题可将p视为自变量，上述问题即转化为在[-2，2]上关于的一次函数大于0恒成立的问题.

解：不等式即（x-1）p+x■-2x+1>0，设f（p）=（x-1）p+x■-2x+1，则f（p）在[-2，2]上恒大于0，故有

f（-2）>0f（x）>0？圯x■-4x+3>0x■-1>0？圯x>3或x<1x>1或x<-1？圯x<-1或x>3，

即x∈（-∞，-1）∪（3，+∞）.

说明：此类题实质上是利用一次函数在区间[m，n]上的图象是一条线段，故只需保证该线段两个端点均在轴上方（或下方）即可.

四、利用“分离变量”求解

若对定义域内的任何一个数都有f（x）>g（a）恒成立，则g（a）f（x）■，反之亦然.

例5：已知x∈R时，不等式m+cos■x<3+2sinx+■恒成立，求实数m的取值范围.

解：原不等式等价于：m-■

令f（x）=sin■x+2sinx+2=（sinx+1）■+1

当sinx=-1时，f（x）■=1.

依题意：m-■<1，即m-1<■.

∴m-1≥0（m-1）■<2m+1或m-1<02m+1≥0

解得1≤m<4或-■≤m<1，即-■≤m<4.

∴实数m的取值范围是-■≤m<4.

五、利用“图形”，直观求解

若把等式或不等式进行合理变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图像，则可以通过画图，直观判断得出结果.尤其对选择题、填空题，这种方法更方便、快捷.

例6：已知a>0且a≠1，当x∈（-1，1）时，不等式x■-a■<■恒成立，求a的取值范围.

解：不等式x■-a■<■可化为a■>x■-■

画出函数y=a■与y=x■-■的图像，如图1所示：

图1

由图1可知■≤a<1或1

例7：如果对任意实数，不等式|x+1|≥kx恒成立，求a的取值范围.

图2

解：画出函数y=|x+1|与y=kx的图像（如图2所示），由图2可知0≤k≤1.

参考文献：

[1]刘玉文.含参不等式恒成立问题的几种解法.高中数学教与学，2012，（9）.

[2]聂星.高中数学中不等式恒成立问题常见的处理方法.数理化学习，2010（12）.