两族非自映射的不动点收敛定理

宋传静，吴健荣

（苏州科技学院数理学院，江苏苏州215011）

两族非自映射的不动点收敛定理

宋传静，吴健荣＊

（苏州科技学院数理学院，江苏苏州215011）

研究一致凸Banach空间中两映射族的公共不动点逼近问题.构造关于非扩张非自映射族和渐近非扩张非自映射族的有限步迭代序列，并在适当条件下证明该序列收敛到公共不动点的一些强弱收敛定理，改进和推广了一些相关文献的结果.

一致凸Banach空间；非扩张非自映射；渐近非扩张非自映射；有限步迭代序列；公共不动点

设D是实赋范线性空间E的非空闭凸子集，如果对任意的x，y∈D都有‖Tx－Ty‖≤‖xy‖，则称映射T：D→D为非扩张的；如果存在数列｛hn｝满足｛hn｝［1，＋∞），limn→∞hn＝1，使得‖Tnx－Tny‖≤hn‖x－y‖，x，y∈D，n≥1，则称映射T：D→D为渐近非扩张的.非扩张及渐近非扩张自映射的不动点定理已有诸多研究报道［1－7］，一些作者对非扩张非自映射在Banach空间中的收敛定理也有所探讨［8］.如果对任意的x，y∈D有‖Tx－Ty‖≤‖x－y‖，则称映射T：D→E为非扩张非自映射，显然非扩张自映射是它的一个特例.最近，SITTHIKUL和SAEJUNG［3］研究了非扩张映射族和渐近非扩张映射族的有限步迭代序列，并在一致凸Banach空间中给出该序列的强弱收敛定理.作为渐近非扩张映射的一种推广，渐近非扩张非自映射是2003年由CHIDUME等［9］引进的，他们通过研究迭代序列x1∈D，xn＋1＝P（（1－αn）xn＋αnT（PT）n－1xn），得到关于渐近非扩张非自映射的强弱收敛定理.2006年，WANG［10］又将该序列进行了推广.受上述文献的启发，在本文中，笔者引进并研究了一个不同的迭代序列，其定义如下.设D是凸Banach空间E的非空凸子集，P：E→D是E到D上的非扩张收缩映射，Si：D→E，Ti：D→E（i＝1，2，…，N）是给定的映射，那么迭代序列｛xn｝定义为

1 预备知识

除非特别说明，本文中E总是表示实Banach空间，D是E的非空子集，T：D→E是一个非自映射，F（T）是T的不动点集合；E＊是E的对偶空间，J：E→2E＊称为正规对偶映射且定义为J（x）＝｛f∈E＊：〈x，f〉＝‖x‖‖f‖，‖f‖＝‖x‖｝，x∈E，其中〈·，·〉表示E和E＊之间的对偶对，j表示单值的正规对偶映射.

如果对所有的x∈U＝｛x∈E：‖x‖＝1｝，limt→0t－1（‖x＋ty‖－‖x‖）存在且对y∈U一致成立，则Banach空间称为具有Fréchet可微范数.［2］434此时，存在一增函数b：［0，∞）→［0，∞）满足limt→0＋b（t）／t＝0，使得‖x‖2／2＋〈h，j（x）〉≤‖x＋h‖2／2≤‖x‖2／2＋〈h，j（x）〉＋b（‖h‖），x，h∈E.

Banach空间称为具有Kadec－Klee性质［8］1033，是指对于E中的每一个序列｛xn｝，xn弱收敛到x且‖xn‖→‖x‖，则可得xn强收敛到x.如果存在连续映射P：E→D使得对所有的x∈D，都有Px＝x，则E的子集D称为收缩核.一致凸Banach空间的每一个闭凸子集都是一个收缩核.如果P2＝P，则映射P：E→D称为收缩映射；因此，如果P是一个收缩映射，则对P值域中的每一点z∈R（P），都有Pz＝z.

命题1.1 设D是实凸Banach空间E的非空凸子集，Ti：D→E（i＝1，2，…，N）是N个渐近非扩张非自映射，则存在数列｛hn｝［1，＋∞），＝1，使得对所有的i＝1，2，…，N，n≥1，x，y∈D，‖x－y‖≤hn‖x－y‖.

引理1.1［4］235设｛，｛un｝n∞＝1是非负实数列，满足an＋1≤（1＋un）an，n≥1.如果＜∞，则limn→∞an存在；如果lim infn→∞an＝0，则limn→∞an＝0.

引理1.2［3］141设E是一致凸Banach空间，｛xn｝E，｛yn｝E，tn∈［δ，1－δ］（n≥1），δ∈（0，1）.如果条件lim supn→∞‖xn‖≤a，lim supn→∞‖yn‖≤a，limn→∞‖tnxn＋（1－tn）yn‖＝a成立，则limn→∞‖xn－yn‖＝0，limn→∞‖xn‖＝limn→∞‖yn‖＝a，其中a≥0为常数.

引理1.3［9］368设D是一致凸Banach空间E的非空闭凸子集，T：D→E是满足F（T）≠的渐近非扩张非自映射，则I－T在零点是半闭的.

引理1.4［3］142设E是使得其对偶空间E＊具有Kadec－Klee性质的实自反Banach空间，｛xn｝是E中的有界序列，p，q∈Ww（xn）（其中Ww（xn）表示｛xn｝的子序列的弱收敛点集合），如果对所有的t∈［0，1］，limn→∞‖txn＋（1－t）p－q‖都存在，则p＝q.

2 强收敛定理

故limn→∞‖－p‖＝d.

再在（2.1）式中取i＝N－1，如上可得limn→∞‖SN－1xn－TN－1（PTN－1‖＝0.如此下去，有

引理2.3 在引理2.2的假设下，如果对所有的x，y∈D和i∈｛1，2，…，N｝，都有‖x－Tiy‖≤‖Six－Tiy‖，则limn→∞‖xn－Tixn‖＝limn→∞‖xn－Sixn‖＝0，i∈｛1，2，…，N｝.

证明 由假设可得0≤‖xn－Ti（PTi）‖≤‖Sixn－Ti（PTi）‖.再由（2.2）式可得

因为‖xn－Sixn‖≤‖xn－Ti（PTi）‖＋‖Ti（P－Sixn‖，故由（2.2）和（2.3）式可得

当i＝1时，limn→∞‖－xn‖＝0显然成立；于是，

所以由（2.3），（2.5），（2.6）式和‖xn－Ti（PTi）n－1xn‖≤‖xn－Ti（PTi‖＋hn‖－xn‖，‖xn－Tixn‖≤‖xn－xn＋1‖＋‖xn＋1－Ti（PTi）‖＋hn＋1‖xn－xn＋1‖＋h1·‖Ti（PTi）n－1xn－xn‖，可得limn→∞‖xn－Tixn‖＝0，i∈｛1，2，…，N｝.

定理2.1 在引理2.1的假设下，序列｛xn｝收敛到｛T1，T2，…，TN；S1，S2，…，SN｝的公共不动点当且仅当lim infn→∞d（xn，F）＝0，其中d（xn，F）＝inf｛‖xn－p‖：p∈F｝.

证明 必要性显然，只须证明充分性.由引理2.1的证明知‖xn＋1－p‖≤（1＋αn）‖xn－p‖，两边对所有的p∈F取下确界可得d（xn＋1，F）≤（1＋αn）d（xn，F）；又由题设知lim infn→∞d（xn，F）＝0，故由引理1.1可得limn→∞d（xn，F）＝0.其余证明参考文献［5］1316中定理2.1的证明.

定理2.2 在引理2.3的假设下，如果有一个Ti或Si（1≤i≤N）和s＞0使得‖（I－Ti）x‖≥sd（x，F）或‖（I－Si）x‖≥sd（x，F），x∈D，则序列｛xn｝强收敛到｛T1，T2，…，TN；S1，S2，…，SN｝的公共不动点.

证明 由引理2.3知当n→∞时，i∈｛1，2，…，N｝，‖（I－Ti）xn‖→0，‖（I－Si）xn‖→0，则对某个常数s＞0，有limn→∞sd（xn，F）＝0，故由定理2.1可知此定理得证.

如果存在不减函数f：［0，＋∞）→［0，＋∞）满足f（0）＝0，对所有的r∈（0，＋∞），f（r）＞0，使得对所有的x∈D，max1≤l≤N｛‖x－Tlx‖｝≥f（d（x，F）），则｛Tl：l＝1，2，…，N｝：D→D，其中F＝F（Tl）≠，被称为满足条件（B）.［6］1153

定理2.3 在引理2.3的假设下，如果｛T1，T2，…，TN；S1，S2，…，SN｝满足条件（B），则｛xn｝强收敛到｛T1，T2，…，TN；S1，S2，…，SN｝的公共不动点.

证明 由引理2.3知limn→∞‖xn－Tixn‖＝limn→∞‖xn－Sixn‖＝0，i∈｛1，2，…，N｝；因此，max1≤l≤N｛‖xn－Tixn‖，‖xn－Sixn‖｝→0（n→∞）.又由引理2.1知limn→∞d（xn，F）存在，故limn→∞d（xn，F）＝0，于是由定理2.1知此定理得证.

映射T：D→D是半紧的［7］380，是指对任意满足‖xn－Txn‖→0（n→∞）的有界序列｛xn｝D，都存在一子序列｛｝｛xn｝，使得→x＊∈D.

定理2.4 在引理2.3的假设下，如果存在一个Ti或Si（1≤i≤N）是半紧的，则｛xn｝强收敛到｛T1，T2，…，TN；S1，S2，…，SN｝的公共不动点.

证明 不妨设T1是半紧的.由引理2.1知｛xn｝是有界的，由引理2.3知limn→∞‖xn－Tixn‖＝limn→∞‖xn－Sixn‖＝0，i∈｛1，2，…，N｝；因此，存在子序列｛｝｛xn｝使得→x＊∈D；故i∈｛1，2，…，N｝，有‖x＊－Tix＊‖＝limj→∞‖－‖＝0，‖x＊－Six＊‖＝limj→∞‖xnj－‖＝0；于是，x＊∈F＝（F（Si）∩F（Ti））；所以，lim infn→∞d（xn，F）≤lim infj→∞d（，F）≤limj→∞‖－x＊‖＝0.由定理2.1知此定理得证.

定理2.5 在引理2.3的假设下，如果存在一个Ti或Si（1≤i≤N）是全连续的，则｛xn｝强收敛到｛T1，T2，…，TN；S1，S2，…，SN｝的公共不动点.

证明 不妨设T1是全连续的.由引理2.1知｛xn｝是有界的，故存在｛T1xn｝的子序列｛｝使得→p＊（k→∞）.又由引理2.3知limk→∞‖xnk－Tixnk‖＝limk→∞‖xnk－Sixnk‖＝0，i∈｛1，2，…，N｝；因此，‖－p＊‖≤‖xnk－‖＋‖－p＊‖→0（k→∞），且i∈｛1，2，…，N｝，有‖－p＊‖＝limk→∞‖Tixnk－xnk‖＝0，‖Sip＊－p＊‖＝limk→∞‖Sixnk－xnk‖＝0，所以p＊∈F＝（F（Si）∩F（Ti））.又由引理2.1知limn→∞‖xn－p＊‖存在，故limn→∞‖xnp＊‖＝0.定理证毕.

3 弱收敛定理

Banach空间满足Opial’s条件［5］1312，是指对任意序列｛xn｝E，如果xn弱收敛到x，则对所有的y∈E，y≠x都有lim supn→∞‖xn－x‖＜lim supn→∞‖xn－y‖.

定理3.1 在引理2.3的假设下，如果E满足Opial’s条件，则｛xn｝弱收敛到｛T1，T2，…，TN；S1，S2，…，SN｝的公共不动点.

证明 因为E是实一致凸Banach空间，｛xn｝有界，故存在子序列｛｝｛xn｝使得｛xnk｝弱收敛到p∈D.由引理2.3知limn→∞‖xn－Tixn‖＝limn→∞‖xn－Sixn‖＝0，i∈｛1，2，…，N｝，所以由引理1.3可得I－Ti，I－Si（i∈｛1，2，…，N｝）在零点是半闭的，于是p∈F＝（F（Si）∩F（Ti））.再设｛xn｝有另一子序列｛｝且收敛到p＊∈D，则同理可得p＊∈F＝（F（Si）∩F（Ti））.如果p≠p＊，则由Opial’s条件可得limn→∞‖xn－p‖＝lim supk→∞‖xnk－p‖＜lim supk→∞‖xnk－p＊‖＜lim supj→∞‖xnj－p‖＝limn→∞‖xn－p‖.矛盾！因此p＝p＊.定理证毕.

引理3.1 设D，E，Si，Ti：D→E（i＝1，2，…，N），｛xn｝的意义同引理2.2，F＝（F（Ti）∩F（Si））≠，则对所有的p，q∈F和t∈［0，1］，limn→∞‖txn＋（1－t）p－q‖存在.

引理3.2 设E是具有Fréchet可微范数的实一致凸Banach空间，D，Si，Ti：D→E（i＝1，2，…，N），｛xn｝的意义同引理2.2，F＝（F（Ti）∩F（Si））≠，则对所有的p，q∈F，limn→∞〈xn，j（p－q）〉存在.进一步地，如果Ww（xn）表示｛xn｝的子序列的弱收敛点集合，则对所有的p，q∈F，x＊，y＊∈Ww（xn）有〈x＊－y＊，j（p－q）〉＝0.

定理3.2 设E是使得E＊具有Kadec－Klee性质的实一致凸Banach空间，D，Si，Ti：D→E（i＝1，2，…，N），｛xn｝的意义同引理2.2，F＝（F（Ti）∩F（Si））≠，如果对所有的x，y∈D，i∈｛1，2，…，N｝都有‖x－Tiy‖≤‖Six－Tiy‖，则｛xn｝弱收敛到｛T1，T2，…，TN；S1，S2，…，SN｝的公共不动点.

证明 因为｛xn｝有界，E自反，所以存在｛xnk｝｛xn｝使得xnk弱收敛到珟p∈D.由引理2.3知limk→∞‖xnk－Tixnk‖＝limk→∞‖xnk－Sixnk‖＝0，i∈｛1，2，…，N｝，所以由引理1.3可得珟p∈F＝（F（Si）∩F（Ti））.再设｛xn｝有另一子序列｛xnj｝收敛到p＊∈D，同理可得p＊∈F＝（F（Si）∩F（Ti））.因为p＊，珟p∈F∩Ww（xn），所以由引理3.1知对所有的t∈［0，1］，limn→∞‖txn＋（1－t）p＊－珟p‖存在，并且由引理1.4可得p＊＝珟p，即｛xn｝弱收敛到珟p.定理证毕.

定理3.3 在引理3.2的假设下，如果对所有的x，y∈D和i∈｛1，2，…，N｝都有‖x－Tiy‖≤‖Six－Tiy‖成立，则｛xn｝弱收敛到｛T1，T2，…，TN；S1，S2，…，SN｝的公共不动点.

证明 因为E是实一致凸Banach空间，｛xn｝有界，则存在｛｝｛xn｝使得弱收敛到珚p∈D.由引理2.3知limn→∞‖xn－Tixn‖＝limn→∞‖xn－Sixn‖＝0，i∈｛1，2，…，N｝，所以由引理1.4可得珚p∈F＝（F（Si）∩F（Ti））.再设｛xn｝有另一子序列｛｝弱收敛到＾p∈D，则同理可得＾p∈F＝（F（Si）∩F（Ti）），因此珚p，＾p∈F∩Ww（xn）；于是由引理3.2可得‖珚p－＾p‖2＝〈珚p－＾p，j（珚p－＾p）〉＝0，因此珚p＝＾p.定理证毕.

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Abstract：In this paper，the common fixed points of two finite families of mappings are studied in real uniformly convex Banach spaces.A finite－step iteration process defined by a finite family of nonexpansive nonself－mappings and a finite family of asymptotically nonexpansive nonself－mappings is introduced，and the strong and weak convergence theorems for this scheme are proved.The results presented in this paper have improved and extended some recent relative results.

Keywords：uniformly convex Banach space；nonexpansive nonself－mapping；asymptotically nonexpansive nonself－mapping；finite－step iteration process；common fixed point

（责任编辑 时 光）

Convergence theorems for two finite families of nonself－mappings

SONG Chuan－jing，WU Jian－rong＊
（Sch of Math ＆Phys，Suzhou Univ of Sci ＆Technol，Suzhou 215011，China）

O 177.91

A

1007－824X（2012）02－0009－05

2011－10－12

江苏省高校研究生培养创新工程资助项目（CXZZ11－0950）；苏州科技学院研究生科研创新计划项目（SKCX11S－054）

＊联系人，E－mail：jrwu＠mail.usts.edu.cn