EIFP环

胡雅蓉，李男杰，魏俊潮

（扬州大学数学科学学院，江苏扬州225002）

EIFP环

胡雅蓉，李男杰，魏俊潮＊

（扬州大学数学科学学院，江苏扬州225002）

给出EIFP环的定义，研究EIFP环的一些性质.主要证明了如下结果：①设R为EIFP环，则对每个e∈E（R），有eR（1－e）J（R）；②设R为quasi－normal环，e∈E（R），则R是EIFP环当且仅当eRe及（1－e）R（1－e）都是EIFP环；③R是Abel环当且仅当R是EIFP环和强左幂等自反环；④R是强正则环当且仅当R是von Neumann正则环和EIFP环；⑤R是约化环当且仅当R是n－正则环和EIFP环；⑥EIFP的exchange环有稳定域1.

EIFP环；幂等元；Abel环；von Neumann正则元；稳定域1

0 引言

在本文中，R表示有单位元的结合环；E（R），N（R）和J（R）分别表示R的幂等元集合、幂零元集合和Jacobson根.设XR，记lR（X）表示子集X在R中的左零化子，即lR（X）＝｛r∈R｜rX＝0｝，在不致引起混淆的情况下，有时简写为l（X）.特别地，当X＝｛a｝时，可表示为lR（a），简写为l（a）.设M为左R－模，N是M的R－子模，作为左R－模，若N是M的直和项，则用N｜M表示.

一个环R称为有稳定域1［4］，如果对任意a，b∈R，当aR＋bR＝R时，存在y∈R，使得a＋by是R的可逆元.显然R有稳定域1当且仅当R／J（R）有稳定域1.根据文献［5］，环R的一个元a称为exchange元，若存在e∈E（R），使得e∈Ra，1－e∈R（1－a）.一个环R称为excnahge环，若R的每个元都是exchange元.众所周知R为excnahge环当且仅当R／J（R）是exchange环且R模J（R）可幂等提升.文献［6］定理6指出：Abel的exchange环有稳定域1.文献［1］1867定理4.8指出：quasi－normal的exchange环有稳定域1.一个环R称为左quasi－duo环，若R的每个极大左理想是理想.［7］21宇化平［7］27证明了左quasi－duo的exchange环有稳定域1.本文将证明EIFP的exchange环有稳定域1，同时利用EIFP环，还给出强正则环、约化环和Abel环的刻画.

1 主要结果

定理1 设R为EIFP环，则对每个e∈E（R），有eR（1－e）J（R）.

证明 设e∈E（R）.任取a∈R，设h＝ea（1－e），则eh＝h，he＝0，h2＝0.设g＝1－e＋h，则g（1－e）＝g，（1－e）g＝1－e，g∈E（R）.由于e（1－e）＝0，所以eg（1－e）∈eE（R）（1－e）J（R），从而h＝eh＝eg＝eg（1－e）∈J（R），即ea（1－e）∈J（R），因此eR（1－e）J（R）.

一个环R称为左pp环，如果对每个a∈R，RRa是投射模.

推论2 1）设R为EIFP环，e∈E（R）.若ReR＝R，则e＝1；

2）设R为EIFP环和左pp环，则对每个a∈R，l（a）RaJ（R）.

证明 1）显然.

2）设a∈R，由于R为左pp环，所以RRa是投射模，从而存在e∈E（R），使得a＝ea，l（a）＝l（e）＝R（1－e）.由于R为EIFP环，故由定理1知，l（a）Ra＝R（1－e）ReaJ（R）.

设R为一个环，e∈E（R）.显然J（eRe）＝eJ（R）e且E（eRe）E（R），故有下面的定理.

定理3 设R为EIFP环，e∈E（R），则eRe是EIFP环.

当R为quasi－normal环时，可得到定理3形式上的逆定理.

定理4 设R为quasi－normal环，e∈E（R）.若eRe及（1－e）R（1－e）都是EIFP环，则R也是EIFP环.

证明 设a，b∈R，ab＝0，则eabe＝0.由于R为quasi－normal环，故由文献［1］1857推论2.2（1）知（eae）（ebe）＝0.由于eRe是EIFP环，所以eaeE（eRe）ebeJ（eRe）J（R）.现设x∈E（R），由文献［1］1857推论2.2（1）知，（exe）2＝ex2e＝exe，故exe∈E（eRe），从而eaeE（R）ebeeaeE（eRe）ebeJ（R）.由文献［1］1857推论2.2（1）知，eaE（R）beJ（R）；同理，（1－e）aE（R）b（1－e）J（R）.由于（eaE（R）b（1－e）R）2eR（1－e）ReR，故由文献［1］1856定理2.1知，eaE（R）b（1－e）J（R）；同理（1－e）aE（R）beJ（R）；因此aE（R）beaE（R）be＋eaE（R）b（1－e）＋（1－e）aE（R）be＋（1－e）aE（R）b（1－e）J（R），从而R是EIFP环.

一个环R称为强左幂等自反环，若对任意a∈J（R），e∈E（R），ae＝0蕴涵ea＝0.显然Abel环是强左幂等自反环，但反之未必.例如：半本原环总是强左幂等自反环，但半本原环未必为Abel环.众所周知，一个环R是Abel环当且仅当R的每个幂等元是右半中心的.下面的定理给出了Abel环的一个刻画.

定理5 R是Abel环当且仅当R是EIFP环和强左幂等自反环.

证明 必要性是显然的.

现设e∈E（R）.任取a∈R，设h＝ea（1－e），由于R是EIFP环，故由定理1知，h∈J（R）.由于he＝0且R是强左幂等自反环，所以eh＝0，从而ea（1－e）＝0，e是右半中心的，因此R是Abel环.

设R为一个环，a∈R，若存在b∈R，使得a＝aba，则称a是R的von Neumann正则元.若a∈Ra2∩a2R，则称a是R的强正则元.若R的每个元素都是von Neumann正则元，则称R是von Neumann正则环.若R的每个元素都是强正则元，则称R为强正则环.若N（R）的每个元素都是von Neumann正则元，则称R是n－正则环.［8］

引理6 设R是一个EIFP环，a是R的von Neumann正则元，则在R／J（R）中，a＋J（R）是强正则元.

证明 设a＝aba，其中b∈R.设e＝ba，则a＝ae，e∈E（R）.由于R是EIFP环，故由定理1知，（1－e）a＝（1－e）ae∈（1－e）ReJ（R），从而a－ba2∈J（R）.同理，a－a2b∈J（R），故a＋J（R）是R／J（R）的强正则元.

由于强正则环是Abel环和von Neumann正则环，从而强正则环是EIFP环，由引理6得到强正则环的一个刻画.

定理7 R是强正则环当且仅当R是von Neumann正则环和EIFP环.

一个环R称为约化环，若N（R）＝0.由于约化环总是Abel环和n－正则环，从而约化环也是EIFP环.

定理8 R是约化环当且仅当R是n－正则环和EIFP环.

证明 必要性是显然的.

现证充分性：如果N（R）≠0，则有0≠a∈N（R），使得a2＝0.由于R是n－正则环，故a是von Neumann正则元.由于R是EIFP环，故由引理6知，a∈J（R）.设a＝aba，其中b∈R.设e＝ba，则a＝ae，e∈E（R）.由于a∈J（R），所以e∈J（R），e＝0，从而a＝0，矛盾；所以N（R）＝0，即R是约化环.

定理9 EIFP的exchange环有稳定域1.

证明 设R是EIFP的exchange环.由于R为excnahge环，故R摸J（R）可幂等提升.由于R为EIFP环，故由定理1知，R／J（R）是Abel环.由于R／J（R）是exchange环，故R／J（R）有稳定域1，从而R有稳定域1.

设a∈R，若l（a）＝0，则称a为R的左正则元.为方便计，用W（R）表示R的所有左正则元的集合.设a∈R，若存在b∈R，使得ab＝1，则称a是R的右可逆元.若对每个a∈W（R），都有Ra｜R，则称R是左WGC2环.［9］若对每个a∈R，作为左R－模，当RaR时，总有Ra｜R，则称R是左GC2环.［10］显然左GC2环是左WGC2环.

定理10 设R是EIFP环和左WGC2环，则R是左GC2环.

证明 设a∈R，使得RaσR.设σ（a）＝c∈R，σ（ba）＝1，则bc＝1.设e＝cb，则e2＝e，ec＝c，由于R是EIFP环，所以由定理1知，c（1－e）＝ec（1－e）∈eR（1－e）J（R），从而1－e＝bc（1－e）∈J（R），cb＝e＝1.由于l（a）＝l（c）＝0且R是左WGC2环，所以Ra｜R，从而R是左GC2环.

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O 153.3；O 154

A

1007－824X（2012）02－0006－03

2010－05－10

国家自然科学基金资助项目（11171291）；江苏省高校自然科学基金资助项目（11KJB110019）

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