基于Esscher变换的指数Ornstein－ Uhlenbeck过程的定价

严 钧

（扬州大学数学科学学院，江苏扬州225002）

基于Esscher变换的指数Ornstein－ Uhlenbeck过程的定价

严 钧

（扬州大学数学科学学院，江苏扬州225002）

考虑指数Ornstein－Uhlenbeck过程作为标的价格过程，通过Esscher变换给出该价格过程欧式期权的价格.

Ornstein－Uhlenbeck过程；Esscher变换；期权定价

期权定价问题是金融数学研究的热点，很多文献曾探讨过基于Esscher变换的证券定价问题.GERBER和SHIU［1］研究了基于Esscher变换的标的价格过程的欧式期权定价问题，讨论了对数维纳过程、带漂移的泊松过程、随机游动等价格过程，还考虑了多风险资产的情形；MOLLER［2］考虑了基于Esscher变换的巨灾（PCS）保险期权的定价问题，通过Esscher变换给出各个时期PCS期权的价格；CHRISTENSEN［3］考虑了更为一般的PCS期权定价模型，同样通过Esscher变换给出了期权价格；还有诸多研究期权定价的报道可以参见文献［4－10］.不同于以上文献报道，本文考虑的是指数Ornstein－Uhlenbeck过程的期权定价问题.

1 预备知识

其中b（＞0）是一个常数，σ是一个正的常数，｛W（t）；0≤t≤T｝是标准维纳过程.在概率空间（Ω；F；P）上赋予一个σ代数流Ft＝σ（X（s），0≤s≤t），且FT＝F.通过X定义如下的价格过程：S（t）＝S（0）exp［X（t）］，那么基于标的价格过程S｛S（t），0≤t≤T｝的期权价格过程为

其中h（x）称为支付函数，T是期权的执行日期，r是利率，E＃表示关于某个风险中性测度的期望，所以需要通过一种方法来决定一个风险中性测度以作为定价测度.

下面运用Esscher变换来构造风险中性测度，具体做法如下.令

相应的概率密度函数为ft（x）.对任意的实数θ，定义X的矩母函数如下：

对任意函数ρt：［0，＋∞）R，定义

称ft（x，ρt）为原始概率密度函数ft（x）的Esscher变换，由概率密度函数的特征性质易知ft（x，ρt）也是概率密度函数.X关于ft（x，ρt）的矩母函数可以定义为

随机微分方程（1）的解有如下形式：

显然，X（t）是一个Gauss过程，且X（t）的期望为0，方差为1－exp（－2bt）］，所以有

由逆转定理可知，关于密度函数ft（x，ρt），X（t）～N）.根据资产定价理论，折扣价格过程｛exp（－rt）S（t），0≤t≤T｝应该满足如下的鞅条件：

为方便起见，记E＊为关于密度函数ft（x）的期望.

2 期权定价公式和数值计算

定理1 价格过程S关于支付函数h（x）的期权价格为

证明 由定义得pt（S）＝exp［－（T－t）］E＊（h（exp［X（T）－X（t）＋X（t）］）｜Ft），由Ft的定义知道X（t）∈Ft，X（T）－X（t）与Ft独立，所以

在期望E＊下，X（T）和X（t）的密度函数分别为fT（x，）和ft（x，），记X（T）和X（t）在期望E＊下的相关系数为κt，T，即对任意的s≤t，

所以可得到如下的等式：

最后，可以得到期权的价格

下面考虑一个特殊情形：欧式看涨期权，即支付函数h（x）＝（x－K）＋max｛x－K，0｝，其中K是执行价格，那么价格过程｛S（t），0≤t≤T｝的无套利价格为

表1是欧式看涨期权数值计算的例子，其中S（0）＝100，r＝0.1，b＝0.5，σ＝0.1.

表1 欧式看涨期权价格的数值计算Tab.1 Numerical calculation for the price of European call option

［1］ GERBER H U，SHIU E S W.Option pricing by Esscher transforms［J］.Insur：Math ＆Econs，1995，16（3）：287.

［2］ MLLER M.Pricing PCS－options with the use of Esscher－transforms［C］／／Trans 26th Internat Congr Actuaries（Nuremberg，1996）.Karlsruhe：［s.n.］，1998：1299－1310.

［3］ CHRISTENSEN C V.A new model for pricing catastrophe insurance derivatives［M］.Aarhus：Centre for Analytical Finance，University of Aarhus，1999：1－20.

［4］ BIAGINI F，BREGMAN Y，MEYER－BRANDIS T.Pricing of catastrophe insurance options written on a loss index with reestimation［J］.Insur：Math ＆Econs，2008，43（2）：214－222.

［5］ 王志焕，林建伟.跳－扩散模型下一类房产期权模型及计算分析［J］.扬州大学学报：自然科学版，2011，14（3）：23－26.

［6］ DASSIOS A，JANG J W.Pricing of catastrophe reinsurance and derivatives using the Cox process with shot noise intensity［J］.Financ Stochastics，2003，7（1）：73－95.

［7］ KUNG J J，LEE L S.Option pricing under the Merton model of the short rate［J］.Math Comput Simul，2009，80（2）：378－386.

［8］ ANDREOU P C，CHARALAMBOUS C，MARTZOUKOS S H.Generalized parameter functions for option pricing［J］.J Bank Financ，2010，34（3）：633－646.

［9］ LAU J W，SIU T K.On option pricing under a completely random measure via a generalized Esscher transform［J］.Insur：Math ＆Econs，2008，43（1）：99－107.

［10］ HSU W W Y，LYUU Y D.Efficient pricing of discrete Asian options［J］.Appl Math Comput，2011，217（24）：9875－9894.

Abstract：The exponential Ornstein－Uhlenbeck process is considered as an underlying price process.The value of European option is obtained by Esscher transform.

Keywords：Ornstein－Uhlenbeck process；Esscher transform；option pricing

（责任编辑 时 光）

Pricing of exponential Ornstein－Uhlenbeck process on Esscher transform

YAN Jun
（Sch of Math Sci，Yangzhou Univ，Yangzhou 225002，China）

O 211.6；F 830.9

A

1007－824X（2012）02－0017－03

2011－06－23

国家自然科学基金数学天元青年基金资助项目（11026114）；扬州大学创新培育基金资助项目（2011CXJ003）

E－mail：junyan＠yzu.edu.cn