转化与化归思想在解题中的应用

☉江苏省盱眙中学 杜加强

转化有等价转化与不等价转化.等价转化要求转化过程的前因与后果既是充分的，又是必要的，以保证转化后所得的结果为原题的结果；不等价转化其过程则是充分或必要的，这样的转化能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口.不等价转化要对所得结论进行必要的修正（如解无理方程转化为解有理方程，要进行验根）.

一、陌生与熟悉的转化

解题时往往从考查新问题的结构、特点入手，横向回想与之形似的某些熟知情境及处理方法，或纵向联想类似解决过的问题及解决方式，这样，就能很快找到解决问题的突破口.

评析：通过变形、变量代换等方法，把已知式转化为同学们比较熟悉的an+1=pan+q型的一阶递推数列问题，通过构造等比数列等一系列化归手段，把非等比数列问题转化成等比数列问题.只有熟悉一些常见的解题方法，熟悉教材，才能处理好陌生向熟悉转化的关系.

二、等与不等的转化

将等式与不等式对应等价转化，是转化数学问题的常用和有效手段.

例2 若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是______.

三、三个一元二次的互相转化

三个一元二次（函数、方程、不等式）综合问题，是中学数学中重要问题，它具有令人瞩目的地位.尤其是以一元二次方程形式出现的不等式证明问题，既是高考的热点题型，又是颇难解决的数学综合题.这类问题若能抓住三个一元二次之间的内在联系，利用一元二次函数的特有性质，在纷繁的困惑中求得简捷的突破.

例3设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0的两个根

证明：由x1、x2是方程f（x）-x=0的两个根，得f（x）-x=a（x-x1）·（x-x2）.

当0＜x＜x1时，由a＞0，得a（x-x1）（x-x2）＞0，则x＜f（x）；

又x1-f（x）=x1-x-a（x-x1）（x-x2）=（x1-x）［1+a（x-x2）］.

所以有x＜f（x）＜x1成立.

四、正与反的转化

有些数学问题，如果直接从正面入手求解，难度大，致使解题思路受阻，但此时考虑问题的反面，则可使问题获解.

例4y=f（x）在它的定义域内是增函数.

（1）证明y=f-1（x）在其定义域内也是增函数；

（2）若f（x）=f-1（x），证明：f（x）=x.

证明：设函数f（x）的定义域为A，值域为B，则其反函数f-1（x）的定义域为B，值域为A.

（1）任取x1∈B，x2∈B，且x1＜x2，假设f-1（x1）＜f-1（x2）不成立，则应有f-1（x1）≥f-1（x2）.

又f-1（x1）∈A，f-1（x2）∈A，从而f（x）在A上是增函数，所以f［f-1（x1）］≥f［f-1（x2）］，即x1≥x2，这与所设x1＜x2矛盾.

故假设不成立，所以f-1（x1）是增函数.

（2）假设f（x）≠x，则在f（x）的定义域内存在x0，使f（x0）≠x0，不妨设f（x0）＞x0.记f（x0）=x1，则x1＞x0，且f-1（x1）=x0.因为f-1（x）=f（x），所以f（x1）=x0.又因为f（x）为增函数，所以由x1＞x0，得f（x1）＞f（x0），即x0＞f（x0），与假设矛盾.故f（x）=x成立.

五、常量与变量的转化

有些数学题中的常量具有特殊性，常常暗示着某种巧妙的解题思路，并有寻求解题途径的导向功能，如能充分挖掘，巧妙转化，可以简化运算，优化解题过程.

六、构造命题与形式转化

通过分析构造一个与原命题相关的新命题，将原命题结构从形式上转化，这样使比较难解的原命题转化为较易解决的新命题，通过对新命题的研究达到解决原命题的目的.