方程搭台 函数“唱戏”

☉江苏省沭阳如东中学 高安军

函数和方程有着千丝万缕的联系，在近年的高考中，频频出现一些方程和函数结合起来的题目，在解答时，主要是利用函数的特性来解，下面举例说明.

A.4 B.5 C.7 D.8

解析：方程f2（x）+bf（x）=0可化为f（x）=0或f（x）=-b.而y=f（x）的图像大致如图所示.

由图可知，直线y=0（即x轴）与y=f（x）的图像有3个交点，直线y=-b（b<0）与y=f（x）的图像有4个交点，即方程f（x）=0有3个实根，方程f（x）=-b有4个实根，从而原方程共有7个实根，故答案选C.

例2已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x-4）=-f（x），且在区间［0，2］上是增函数，若方程f（x）=m（m>0）在区间［-8，8］上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=__________.

解析：因为定义在R上的奇函数f（x），满足f（x-4）=-f（x），所以f（x-4）=f（-x）.由f（x）为奇函数，所以函数图像关于直线x=2对称且f（0）=0，由f（x-4）=-f（x）知f（x-8）=f（x），所以函数是以8为周期的周期函数.又因为f（x）在区间［0，2］上是增函数，所以f（x）在区间［-2，0］上也是增函数.如图所示，那么方程f（x）=m（m>0）在区间［-8，8］上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1

图1

图2

评注：本题综合考查了函数的奇偶性，单调性，对称性，周期性，以及由函数图像解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.

图3

例4 设a>1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈［a，2a］，都有y∈［a，a2］满足方程logax+logay=c，这时a的取值的集合为__________.

分析：题目给出的方程中含有x，y，a，c等多个字母，而条件中是对任意的x∈［a，2a］都有y∈［a，a2］，这使我们联想到函数的定义域、值域，所以必须把方程改写为关于y的函数，再进一步研究函数的性质.

例5设函数f（x）在（-∞，+∞）上满足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），且在闭区间［0，7］上，只有f（1）=f（3）=0.

（Ⅰ）试判断函数y=f（x）的奇偶性.

（Ⅱ）试求方程f（x）=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论.

解：（Ⅰ）由f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x）得函数y=f（x）的对称轴为x=2和x=7，

从而知函数y=f（x）不是奇函数.

故f（x）在［0，10］和［-10，0］上均有两个解，从而可知函数y=f（x）在［0，2005］上有402个解，在［-2005，0］上有400个解，所以函数y=f（x）在［-2005，2005］上有802个解.