浅析指数函数的常见考点

☉河南省罗山高级中学 杨 希

指数函数是我们学习的重要基本函数之一，蕴涵了丰富的函数的内容和函数思想，也是高考中的“常客”.接下来笔者就指数函数的常见的考点略作小结，供读者参考.

一、指数函数的主要内容

a>1 0

二、常见考点例析

考点一：指数函数的定义考查

定义是学习新知识的基础，深刻理解定义对整节内容的学习至关重要.

例1若函数f（x）=（a2-3a+3）·ax是指数函数，则a=______.

考点二：指数函数的图像考查

“数形结合”是高中数学的重要数学思想之一，能直观的反映出问题的本质.掌握指数函数的图像特征和性质，结合图像变换法则画出图像，便可使一些复杂的问题更直观、更简捷.

例2已知f（x）=ax（a>1），g（x）=bx（b>1），当f（x1）=g（x2）=2时，有x1>x2，则a、b的大小关系是______.

分析：指数函数图像具备如下性质：在第一象限图像离x轴越远，函数的底越大.具体证明（如图1），取x=1，则有c

解：根据题设，画出图像，如图2，利用指数函数的性质，则有a

图1图2

考点三：指数函数的单调性的考查

“单调性”是函数的重要性质之一.构造指数函数模型，利用单调性比大小、解不等式、求值域等是常考题型.

由f（m）>f（n），得m

考点四：函数与方程思想的考查

“函数与方程思想”是数学的重要思想之一.函数是方程与不等式的“中介”，三者既有区别，又联系紧密，相互转化.

例4 若关于x的方程4x+1-m4x-m-3=0有正根，求m的取值范围.

分析：这是含有参数的指数方程，根据指数函数的性质、方程与函数相互转换等知识，有以下几种思路.

解法1：利用指数函数的值域转化为关于m的不等式.

解法2：把原方程换元转化为关于4x的一次函数来研究.

设4x=t.由x>0，得t>1.

原方程变形为（4-m）t-m-3=0.（1）

设f（t）=（4-m）t-m-3（t>1），原方程有正根，等价于方程⑴在区间（1，+∞）内有实根，则只要函数f（t）在区间（1，+∞）内的图像与横轴相交.

考点五：分类讨论思想的考查

“分类讨论”一直是高考重点考查的内容之一.常见的分类情形有：按数的特性分类；按字母的取值范围分类；按事件的可能情况分类；按图形的位置特征分类等.指数函数涉及的讨论主要是底“a”的范围的讨论.

例5若函数f（x）=ax-x-a（a>0，a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是______.

分析：设函数y=ax（a>0）且a≠1）和函数y=x+a，则函数f（x）=ax-x-a（a>0，a≠1）有两个零点，就是函数y=ax（a>0且a=1）与函数y=x+a有两个交点.由图像可知当01时，因为函数y=ax（a>1）的图像过点（0，1），而直线y=x+a所过的点一定在点（0，1）的上方，所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是（1，+∞）.

例6若函数f（x）=ax（a>0，a≠1）在区间［1，2］上的最大值是最小值的3倍，则a=________.

分析：由于底a大小不定，则函数的单调性不定，故需要讨论.

解：①当a>1时，f（x）=ax（a>0，a≠1）单调递增，则a2=3a⇒a=3或a=0（舍去）.

②当00，a≠1）单调递减，则或a=0（舍去）.