数列中的“鹊桥”

龙影

数列{a}的通项a与前n项和S的综合问题，是数列中的一类热点问题.解答此类问题，须在a与S之间架起一座“鹊桥”，使二者能互相转化，能担此重任者是关系式a=S，n=1S-S，n＞1，大凡a与S的综合问题，都要用这个“鹊桥”公式解答，下面举例说明.

一、已知S求a

例1：已知数列{a}的前n项和为S=2+n，求这个数列的通项公式.

分析：运用关系式a=S，n=1S-S，n＞1求解，不要忘记检验a.

解：因为S=2+n，所以当n＞1时，a=S-S=2+n-（2+n-1）=2+1.

又因为a=S=2+1=3，而2+1=2≠a，所以a不适合a=2+1.

所以a=3，n=12+n，n＞1.

评注：已知S，可用a与S的关系式a=S，n=1S-S，n＞1求a.求解时，一个常见错误就是忽视检验a是否适合求出的通项公式.要避免此类错误，同学们要牢记：a的“真值”是S，因为这个值是已知条件赋予的.若a的值不适合求出的通项公式，则需把通项公式分段表示.

二、已知a与S的关系式求S

例2：已知数列{a}的前n项和为S，a=2，S=（n+1）a（n∈N），求S.

分析：用a=S-S代换其中的a，从而消去a，进而可求S.

解：把a=S-S代入S=（n+1）a，得S=（n+1）（S-S），整理得=.

所以··…·=··…·=，所以=.

又因为S=a=2，所以S=n+1.

评注：已知a与S的关系式求S，只需用a=S-S代换其中的a，从而消去a，把关系式转化为关于S的递推式，即可求数列{S}的通项公式，这个通项公式即为S的表达式.

三、已知a与S的关系式求a

例3：已知数列{a}的前n项和为S，且满足S=2a-2（n∈N），则a=.

分析：欲求a，需消去S，可根据S=2a-2再写出一个式子S=2a-2，然后两式作差，即可消去S，进而可求a.

解：因为S=2a-2①，所以S=2a-2（n＞1）②，①-②得a=2a-2a，即a=2a（n＞1），所以数列{a}是一个公比为2的等比数列，由S=a=2a-2，解得a=2.

所以a=2.

评注：已知a与S的关系式求a，只需写出当n=n-1时的关系式，然后用条件式减此式，再运用关系式a=S，n=1S-S，n＞1消去S，进而求a.在此类问题中，虽然也有n＞1这一要求，但无需检验a.这是因为，由求解过程可知，a已经是这个等比数列的一项了，它一定适合这个通项公式.若上述求法不能奏效，则可先用例2的方法求S，再代入a与S的关系式求a.

四、转化条件式

例4：设等比数列{a}的公比为q，前n项和为S，若S，S，S成等差数列，则q的值为.

分析：S，S，S成等差数列，即S-S=S-S，把此式转化为数列的项之间的关系式，即可求公比.

解：因为S，S，S成等差数列，所以S-S=S-S，所以-a=a+a，所以-2a=a，所以q==-2.

评注：本题若用等比数列的前n项和公式解答，不但十分繁琐，还要就q=1和q≠1进行讨论，而用a和S关系式解答，避免了小题大做，十分简捷.