双刃剑——数形结合

刘茂辉

华罗庚先生说过:“数形本是两依倚,焉能分作两边飞.数缺形时少直观,形少数时难入微.”把数量关系的研究转化为图形性质的研究,或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究,这种“数”与“形”相互转化的解题策略,就是数形结合的思想.

“数形结合”直观、形象，可避免繁杂的计算、证明等，获取出奇制胜的解法.在教学中我们更多是向学生展示数形结合的优越性,渐渐地使学生认为数形结合是“万能”的.其实,图形的直观性易使我们失去精确的计算,因为有些图形是有误差的，并不准确，所以我们不能以点代面，不能简单地根据图形就获取答案.解法的简捷性易使我们失去深刻的反思,思路的奇异性也易使我们充满了幻想,所以片面的理解,使数形结合成为我们手中的一把双刃剑,时时充满危险.因此,在利用数形结合的方法时,我们既要灵活又要缜密.本文主要阐述运用它解题时应注意的几个问题：

1.正确作图，避免潦草作图而导致错误

作图分析问题时,不仅要画出相应图形的大致草图,而且要尽量地准确描绘图形，必要时还需要对图形的直观分析给出严密性的推理.在同一坐标系中作几个函数的图像来比较时，我们一定要注意函数图像的延伸趋势以及伸展“速度”，因为我们画出的只是函数图像的一小部分，而不是全部.我们从函数图像的部分而知道它的全部，那没画出来的部分图像是怎么样的呢？我们只有根据函数图像的延伸趋势以及伸展“速度”来判断了,也就是说我们不仅要了解函数图像或曲线的大致形状,而且应尽量地准确描绘图形，否则会因潦草画图而造成错觉性的解题失误.

例1 已知集合M={(x,y)|y=2x,x∈R},N={(x,y)|y=x2,x∈R},则M∩N中元素的个数是().

獳.1个 B.2个 C.3个 D.4个

错解 在同一坐标系内作出函数y=x2和y=2x的图像,它们有两个交点,故选獴.剖析此题：由于草图粗糙而导致误判.事实上,当x<0时,两图像显然有一个交点;当x>0时,考察函数y=x2和y=2x的增长“速度”变化,即知它们有两交点,即(2,4)和(4,16),故正确答案应为獵.图略.

2.注意转化过程要等价，避免定义域扩大或缩小

定义域是一个变量的最大范围，如果不注意转化过程是否是等价的过程，那么变量的定义域就有可能扩大或缩小了，这样，画出来的图像就会多出一部分或者少了一角，而根据这样有误差的图像作出来的结果是会不准确的,所以注意转化过程要等价是关键的.不论是否注意到转化过程要等价，我们最好能做好一道题，再用另外一种方法验证一下所得到的答案是否准确，这样才会有信心地保证做完一题就一定正确.

例2 画出函数y=x2-2x-3的图像.

分析 该图像是双曲线在x轴上方的一部分，并且对称中心是（1,0），顶点分别是（-1,0），（3,0）.因此，画图形时转化要等价，避免出错.图略.

3.注意仔细观察图像，避免漏掉了一些可能的情形

例3 设A={x｜-2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x2，且x∈A}，若C罛，求实数a的取值范围.

错解分析 考生在确定z=x2，x∈［-2,a］的值域时易出错，不能分类而论.巧妙观察图像将是上策.不能漏掉a＜-2这一种特殊情形.

解 ∵y=2x+3在［-2,a］上是增函数，

∴-1≤y≤2a+3，即B={y｜-1≤y≤2a+3}.

作出z=x2的图像，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下：

①当-2≤a≤0时，a2≤z≤4即C={z｜z2≤z≤4}.

要使C罛,必须且只需2a+3≥4，得a≥1[]2，与-2≤a＜0矛盾.

②当0≤a≤2时，0≤z≤4，ゼ碈={z｜0≤z≤4}，要使〤联狟，由图可知

必须且只需2a+3≥4,

0≤a≤2,解得1[]2≤a≤2.

③当a＞2时，0≤z≤a2，即C={z｜0≤z≤a2}，要使C罛，

必须且只需a2≤2a+3,

a>2,解得2＜a≤3.

④当a＜-2时，A=,此时B=C=В则C罛成立.

综上所述，a的取值范围是(-∞,-2)∪1[]2,3.

4.注意图形的存在合理性，不可“无中生有”

借形解题有独到的效果,但若忽视图形的存在性,只凭主观想象,无中生有,则会造成错解.下面的例子就很好地说明了这一点.

例4 曲线y=1+4-x2(-2≤x≤2)与直线y=r(x-2)+4有两个交点时，求实数k的取值范围.

解析 方程y=1+4-x2的曲线为半圆，y=k(x-2)+4为过（2，4）的直线.题目中y=1+4-x2移项后再平方得x2+（y-1）2=1，是以（0,1）为圆心，1为半径的圆.做题时很容易画成了圆，这是本题出错率较高的地方.

“形”并不能作为证明的依据，遇到证明题时，在几何直观分析的同时，还要进行代数抽象的探索，并用严谨的数学语言写出证明过程的理论依据，这样才算做好证明题.应用数形结合时，“形”只是一种手段，一个工具，而不是理论依据.不论是怎么样的题目，“形”只是我们思考问题的一种方式，为解题提供一些帮助，但我们都要写出我们做这道题的理论依据，这样才会让人知道你不是直接从图像中看出来的或者是猜测得到的，这样才有说服力，才是有效的.

数形结合的确是一个非常好，也非常实用而且重要的思想方法，应用性强.但它又是一把双刃剑，时时充满诱惑和危险.因此，我们要慎之又慎，要扬长避短，要全面合理分析，直观的同时，辅有严谨的演绎.