立体几何教学拾锦

杨清洲

【摘要】立体几何的研究对象是立体图形,它是平面几何的延伸和拓展,是高中阶段学生学习的难点之一.笔者结合自己多年的教学实践认真剖析了学生在学习立体几何时遇到的两个问题，并总结介绍了自己在讲授这一知识模块时的经验方法.

【关键词】空间想象力；逻辑思维能力；转化；分类；归纳；类比オ

立体几何是高中阶段学生学习的一个重要内容，学习这一部分的知识对于培养学生的空间想象力、逻辑思维能力有着极其重要的意义.但由于学生原有的立体几何知识的欠缺，空间想象力有限，学习方法的不恰当，都给学习这部分知识带来了相当大的困难，这同时也给我们教师如何讲授立体几何提出了一个重要课题.笔者经过长期的教学实践与研究总结出自己的一些体会与方法.

一、立体几何教学中学生常出现的两个问题

1.混淆立体图形与平面图形——欠缺空间想象能力

立体几何的题目大多是在“直观感知，加以确认”的基础上得到结论的.但是学生由于受初中平面几何的影响，头脑中难以对立体图形形成较为准确、直观的认识.表现在做题时不会画图或画出图来也不易辨认，甚至作出错误的图形，误导了解题.例如，在立体图中找两条异面直线时，个别学生总是把相交直线与异面直线混淆；在求二面角平面角时，部分学生找不到或画不出二面角的平面角，等等.所以培养学生的空间想象能力是立体几何教学的首要任务.

2.概念模糊，定理理解不透彻——欠缺逻辑推理能力

学生对教材中的概念理解模糊，不够深入，一味地死记硬背，不能很好地分析概念的内涵与外延，特别是易混概念间的区别和联系.例如，在学习直线与平面垂直的定义时，有些学生误以为“一条直线与平面内的无数条直线都垂直，就一定垂直于该平面”，错误的原因在于学生对“线面垂直”的实质理解不清，混淆了“无数条”和“任意一条”的含义.

对定理、公理的理解和掌握不扎实，不透彻，部分学生在做证明题时经常出现逻辑推理不够严密，定理、公理运用混乱的现象，甚至以主观臆断代替严密的逻辑推理，导致了这部分学生应用定理分析问题、解决问题的能力不强，面对立体几何的证明题时不知从何下手.例如，在证明线面垂直时，知道要根据线线垂直来证，却不知道如何通过步步推理来完成解题过程.所以培养学生的逻辑思维能力也是当前立体几何教学的重要任务.

二、针对立体几何教学中出现的问题，笔者提出了自己的几种做法

（一）注重对学生空间想象能力的培养

1.借助模型，提高学生的观察力

空间想象力的培养，首先就要多看，看得多了，才能心领神会，做到感知和理解相结合.因此，“看”是培养空间想象能力、学好立体几何的关键.一是看生活中的实物模型，如讲授“直线与平面的位置关系”时，让学生观察教室内的日光灯管（直线）、墙角线（直线）等与墙面（平面）、桌子面（平面）、书本面（平面）等之间的关系.二是看教具模型，如讲授“多面体”时，就要充分利用教具模型，要求学生学会全面地观察模型，不断提高观察力，让他们在观察中了解多面体的结构.这样学生就能把看似复杂的知识很轻松地消化吸收，同时也提高了学生的空间想象能力.

2.勤于动手，提高学生的绘图能力

教师应指导学生画图，可以先从简单的图形或几何体入手，由对照模型画图，到逐步学会熟练正确地画出空间图形的直观图，通过学生画立体图形来加强他们对空间几何体的了解，从而培养学生绘图的能力，这样也有助于提高学生的空间想象能力.

3.善于演示，提高学生的识图能力

学生不但要会画图，更要会识图，指导学生充分利用身边的物品，如笔（代表直线）、课本（代表平面）、桌面（代表平面），运用这些身边的事物随时加以演示，提高学生的识图能力.如在研究“过平面外一点有多少条直线与这个平面平行？”“过直线外一点有多少个平面与这条直线平行？”的问题时，让学生亲手演示一下自己发现答案，要远比老师的讲授效果更好，学生在加深知识的理解的同时，也发展了学生对立体图形的解读能力，提高了学生的空间现象力.

（二）注重对学生逻辑推理能力的培养

1.梳理总结，培养学生的归纳能力

立体几何解题过程中，很多题目的解法与思路常有一定的规律性.因此，学生一定要善于总结提炼，归纳出不同类型题目的解题方法，做到举一反三、触类旁通.例如，要求证线线垂直（平行）或线面垂直（平行）都最终转化为证线线垂直（平行）；求面与面的距离先转化为求线与面的距离，再转化为求点与面的距离；在立体图形中求角问题可归纳为：求角先找角，三角形中解决，正（余）弦定理常用.教师在引导学生总结归纳这些解题方法与思路的过程中培养了学生的归纳能力.

2.帮助学生建立起立体几何知识体系

学生解题时感到无法下手的一个重要原因是对知识模糊不清，掌握不牢固.立体几何概念、定理特别多，这就需要老师引导学生理顺知识框架，梳理知识结构.教师可以先给出知识主干：一个基础、两种关系、三个角、四个距离.然后引导学生添枝加叶，考虑：“一个基础”是什么？（就是四个公理、三个推论）“两种关系”是什么？（“两种关系”就是平行关系、垂直关系.其中平行关系又包括线线平行、线面平行、面面平行；垂直关系又包括线线垂直、线面垂直、面面垂直）“三个角”是什么？（两条异面直线组成的角，直线和平面组成的角，两个平面组成的角）……在教师给出知识主干的情况下，引导学生添枝加叶，对整个章节进行再整理，串联起所有知识点，建立起立体几何的知识体系，由此也提高了学生的逻辑推理能力.

（三）重视学生对数学思想方法的掌握与应用

1.转化的思想方法

转化的思想方法是立体几何中最常用的一种方法，在立体几何教学中帮助学生掌握转化的思想方法也是一项重要的教学目标，教师在课堂教学中要时时渗透这种数学思想.例如，“面面垂直”问题通常转化为“线面垂直”，而“线面垂直”又可以转化为“线线垂直”；“面面成角”通常转化为“线面成角”，而“线面成角”通常又可以转化为“线线成角”，等等.在立体几何的教学中，教会学生善于“转化”，事实上是教会了他们一种学习方法，提高了他们运用所学知识分析问题、解决问题的能力，同时也培养了他们的逻辑思维能力.

2.分类的思想方法

分类的思想方法是中学数学的一种基本方法，帮助学生掌握分类的思想方法也是立体几何教学的一项重要任务，教师需引导学生对知识进行分类总结.如：把直线与直线的位置关系、直线与平面间的位置关系、平面与平面间的位置关系归为一类，把两条异面直线的夹角与二面角分为一类……教学中，不失时机地揭示并帮助学生运用分类的思想方法，有助于学生全面系统地归纳整理，消化知识，亦有益于训练思维的条理性和严密性，发展思维能力.

3.类比的思想方法

立体几何教学中，类比的思想方法也经常被采用，由学生已经学过的平面几何知识通过类比迁移到立体几何，能够加深学生对立体几何知识的理解，便于对新知的掌握.例如，由平面内平行于同一条直线的两条直线互相平行，可类比出空间内平行于同一个平面的两个平面互相平行；由平面内平行四边形的性质可类比得到空间内平行六面体的类似性质；“线线垂直”与“面面垂直”，平面内的三角形与空间中的四面体均有较多的类比性质等.在立体几何教学中帮助学生掌握类比的思想方法，对不同模块知识进行比较，不仅可以巩固旧知识，加速对新知识的理解和掌握，还能开拓学生的思维空间，诱发学生的灵感，沟通知识间的联系，帮助学生建立良好的认知结构.