数形结合在数学分析教学中的应用

李瑞峰 许永鑫

【摘要】文章指出在数学分析的教学中，引导学生结合概念、定理的几何意义去理解记忆，启发学生根据题目已知条件的几何意义，使用数量与图形结合的方法来解题，将会使一些抽象、复杂的数学问题变得形象直观.

【关键词】数学分析；数形结合；概念；定理；解题オ

数学分析是数学专业的重要基础课程，但由于其内容的高度抽象性和严密的逻辑性以及独特的“公式语言”，使得初学者的学习习惯和思维方式很难迅速适应，从而成为数学专业学生学习的一道难关.但是如果教师巧用数形结合的方法对某些概念、定理或题目进行分析，便可以使抽象、复杂的数学问题变得形象直观，在解题中能够化繁为简，学生可找到解题思路，进而解决数学问题.

下面就数形结合在数学分析教学中的应用谈几点体会：

一、利用数形结合可深化对概念本质的理解

数学分析中的许多概念都是用抽象的数学语言给予形式化的精确描述，由于这种描述高度抽象，学生们很难理解它的含意，往往是不加理解地死记硬背.但数学概念的产生和发展都来源于对实践的感性认识，如果教师在教学中能借助直观的几何图形来引导和启发学生观察、分析，再由具体逐步过渡到抽象，将有助于学生理解抽象的概念，进而理解数学知识的内涵和外延，应用起来也就得心应手.

案例一 导数概念的教学

导数的概念很抽象，也很难懂.通过对引例的介绍，一方面能使我们比较容易地去理解和记忆导数的概念，看到导数的一个几何原型，使导数概念直观化；另一方面也能使我们感受到导数概念中所蕴含的数学思想方法，看到导数概念的来龙去脉；同时，曲线的切线斜率作为导数的几何意义，能使我们对导数的一些性质、定理有更好的理解.

数学分析中还有许多概念都有一定的几何意义，如函数的连续、微分、定积分、二重积分等概念，深刻理解这些概念的几何意义，能使学生对这些概念理解更深刻，能更灵活运用概念分析问题，解决问题.而且教师在传授知识的同时影响学生的数学思想，使学生学会抽象与概括的科学思维方法，提高学生的分析与解决问题的能力.

二、利用数形结合有助于理解某些定理

数学分析中的许多定理，看上去很神秘，令人望而生畏.但若通过对定理的几何意义的理解，就会觉得定理的结论是顺理成章的，对定理的理解就比较深刻，进而找到定理的证明思路.

案例二 拉格朗日中值定理的几何解释

拉格朗日中值定理：若函数f（x）满足条件

（1）在闭区间［a，b］上连续；

（2）在开区间（a，b）上可导，

则在区间（a，b）内至少存在一点x0，

使得f′（x0）-f(b)-f(a)[]b-a＝0或f（b）-ゝ（a）＝f′（x0）（b-a）.

几何解释：f（x）在闭区间［a，b］连续，表明曲线y=f（x）在［a，b］上是一条连续不间断的曲线；f(x)在开区间(a，b)可导，表明曲线y=f（x）在(a，b)内是光滑的，在(a，b)内每一点都存在切线.

在上述条件下，在(a，b)内就至少可以找到一点x0，使f′（x0）-f(b)-f(a)[]b-a＝0，也就是在曲线y=f（x）上至少有一点(x0，f（x0）)，该曲线在这点的切线平行于曲线两端点的连线.

拉格朗日中值定理中函数的图像オ

在教学中，把满足定理条件的函数图像画出来，结论是很明显的.这样使学生很容易就能把握定理所表达的内涵的来龙去脉，从而使学习变得轻松愉快.

借助于几何直观性来阐明定理的内容，将形象思维与抽象思维相结合，对学生的思维有冲击，用这样一种直观有效的、简化易懂的方法，找到了问题的结论，学生耳目一新.这比教师苦口婆心帮助学生分析定理的条件结论更有学习数学分析价值.

三、数学分析解题中利用数形结合的思想方法

数学分析中有些问题，如果仅局限于数的方面考虑，过程繁琐.但如果能弄清楚问题中条件和结论的几何意义，使用数量与图形结合的方法来教学生解题，学生就会对问题有一个清楚的认识，从而找到解题思路，便可提高解题效率.

在数学分析教学中，教师要善于引导学生根据条件结论画出相应的几何图形，根据题目特点发现规律，借助几何图形的直观性来分析有关问题，巧妙应用数形结合求解，将有利于教师启迪学生思维，引导学生理解题意，找到解题方法，达到化繁为简地解决问题的目的.

通过把问题的数量关系和空间形式有机结合，使学生的思维完成从“抽象”到“形象”的概括，再根据解决问题的需要，给“数”的问题以直观图形的描述，揭示出问题的几何特征，从“抽象”到“形象”的再现.给“形”的问题以数的度量，分析数据之间的关系，更能从本质上认识“形”的几何属性.从而达到解题的目的.数学思想方法既是数学的基础知识，是知识的精髓，又是将知识转化为能力的桥梁.因此数学分析教师在教学中要注重数学思想方法的渗透、概括和总结，要重视数学思想方法在解题中的应用.