一个初等不等式的研究一个初等不等式的研究

王琛 刘晓波

【摘要】本文通过对一个初等不等式x3+y3+z3≥3xyz(x,y,z∈R+)进行研究，得到若干推广形式及一些应用，文中还留下了几个猜想。

【关键词】不等式；推广；应用；猜想

不等式x3+y3+z3≥3xyz,①x,y,z∈R+是中学里一个简单且常见的不等式！

然而它的内涵与外延是如此的丰富，似乎出乎我们的意料之外。本文将给出此不等式的若干推广形式及一些应用，并提出几个猜想。

一、不等式的证明

不等式①的证明似乎不难，左-右=12(x+y+z)［(x-y)2+(y-z)2-(z-x)2］≥0即得。

有意义的是由此证明以及经过简单的代数变形，我们可以给出一些有趣的推广及应用。

二、不等式的推广

以下我们给出几个命题，题中条件均为x,y,z∈R+。

命题一 (a)x3+y3+z3≥3xyz+z(x-y)2+x(y-z)2+y(z-x)2。

②

(b)xyz≥(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)。

③

命题二 (a)x3+y3+z3≥3xyz+x+m2(y-z)2+y+m2(z-x)2+z+m2(x-y)2。(其中m=min{x,y,z})

④

(b)xyz-m2［(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2］≥(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)。

⑤

命题三 (a)27x2y2z2(x+y+z)3≥(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)。

⑥

(b)x2y2z227(x+y+z)327xyz(x+y+z)3+83≥(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)。

⑦

不等式③展开后整理即得②，展开后知不等式④与⑤也是等价形式，④显然强于②。

下面证明不等式④，不妨设x≥y≥z,则m=z。

左?右=12（x+y+z)［(x-y)2+（y-z)2+(z-x)2］-x+z2(y-z)2-y+z2(z-x)2-z+z2(x-y)2=12(y-x)(y-z)2+12(x-y)(z-x)2+12(x+y-2z)(x-y)2=12(x-y)［(z-x)2-(y-z)2］+12(x+y-2z)(x-y)2。∵(z-x)2≥(y-z)2,x-y≥0,x+y-2z≥0,即得左-右≥0，得证。

命题三的证明：

(a)不妨设x≥y≥z,若y+z≤x显然成立，以下考虑y+z>x。

证法一 将半角公式cosA2=12 (x+y+z)(y+z-x)yz，

cosB2=12(x+y+z)(z+x-y)zx

cosC2=12(x+y+z)(x+y-z)xy，

代入三角不等式cosA2cosB2cosC2≤338整理即得不等式⑥。

证法二 展开③右端得xyz≥x(y2+z2-x2)+y(z2+x2-y2)+z(x2+y2-z2)-2xyz。

两边加上6xyz整理即得

9xyzx+y+z≥x(y+z-x)+y(z+x-y)+z(x+y-z)。

由平均值不等式知，

右端≥33xyz(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y) 。

两边立方后整理即得。

(b)展开⑥式右端得27x2y2z2(x+y+z)3≥x(y2+z2-x2)+y(z2+x2-y2)+z(x2+y2-z2)-2xyz。

两边加8xyz整理得27x2y2z2(x+y+z)4+8xyzx+y+z≥x(y+z-x)+y(z+x-y)+z(x+y-z)。

此式右端≥33xyz(y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)。

两边立方整理即得⑦。

注记：由此证法事实上我们可以得到不等式③的一个无穷的加强不等式链。

如x2y2z227(x+y+z)3xyz27(x+y+z)327xyz(x+y+z)3+83+83≥(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)等等，很有规律性。

三、不等式的应用和猜想

例 当x,y,z为三角形三边时，不等式③代入海伦公式整理即得3xyz(x+y+z)≥43Δ。

⑧

另外我们熟知x2+y2+z2≥43Δ。

⑨

由于x2+y2+z2≥13(x+y+z)2且x+y+z≥3 3zxy知不等式⑧强于⑨。