运用变量替换法 巧解高中三角题

李新莲

〔关键词〕 数学教学；变量替换法；三角题

〔中图分类号〕 G633.64〔文献标识码〕 A

〔文章编号〕 1004—0463（2012）15—0080—01

在三角问题中，通过引入变量进行替换，把问题转化成对新变量的讨论，可以架起从已知通向未知的桥梁，转化原问题的结构，简化解题过程.替换如果用得巧妙，还可以收到事半功倍的效果.

代数替换法

通过替换把三角问题转化为代数问题进行讨论，这样可以避开解三角函数式的麻烦，达到化繁为简、化难为易的目的.

例1求cos36°- cos72°的值.

解析：设x=cos36°，y=cos72°，由cos72°=2cos236°-1得y=2x2-1.又cos36°=1-2sin218°=1-2cos272°，则x=1-2y2.因为x+y=2（x2-y2）=2（x+y）（x-y），所以x+y≠0，所以x-y=，即cos36°-cos72°=.

整体替换法

整体替换法即把已知式或待求式视为一个整体进行变形替换.

例2已知sinx+siny=，求cosx+cosy的变化范围.

解析：设u=cosx+cosy，将已知式与待求式两边平方得：=sin2x+2sinxsiny+sin2y（1）， u2=cos2x+2cosxcosy+cos2y（2）.

（1）+（2）得：u2+=2+2cos（x-y），即2cos（x-y）=u2-.因为-2≤2cos（x-y）≤2，所以-2≤u2-≤2，解得-≤u≤.所以-≤cosx+cosy≤.

引入参数法

即通过引入参变量调节命题结构，把问题转化为对参变量的讨论.

例3（2008年重庆卷文12）函数f（x）=(0≤x≤2)的值域是（ ）.

(A)[-，] (B)[-，]

(C)[-，] (D)[-，]

解析:令=t（1≤t≤3） ， 则sin2x =，当0≤x≤?仔时，sinx==.

f（x）==

=≤=.

当且仅当t=时取等号.同理可得当?仔＜x≤2?仔时，f（x）≥-.综上可知，f（x）的值域为[-，]，故选C.

三角替换法

对于有些三角问题，如果能依据其特征，合理地引入三角替换，把问题结构转化，这样解题构思别致，解题过程简捷、巧妙.

例4 求函数y=+|sinx|的值域.

解析：由题意知：0≤sin2x≤，即-≤sinx≤.

设sinx=sin?兹， 其中-≤?兹≤，则y=cos?兹±sin?兹.当0≤?兹≤时，y=sin（?兹+），因为0≤?兹≤，≤?兹+≤，所以≤sin（?兹+）≤1，即≤y≤；当-≤?兹≤0时，y=cos（?兹+），因为-≤?兹≤0，-≤?兹+≤，所以≤cos（?兹+）≤1，即≤y≤.

综上所述，所求函数的值域为≤y≤.

编辑：刘立英