浅谈一元二次方程根的判别式的应用

郑国荣

一元二次方程根的判别式，是初中数学的一个重点，中考必考知识点，它是解答数学问题的重要工具和方法，应用十分广泛，不仅用于方程的解和根的差别，而且作为一种解题方法，在代数、方程（组）、不等式、函数、几何等都有非常广泛的应用 . 下面举例说明.

1. 方程中的应用

（１）方程根的判别：一元二次方程ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０（ａ ≠ ０）……（■）当Δ ＞ ０时，方程（■）有二个不相等实根；当Δ ＝ ０ 时，方程（■）有二个相等实根；当Δ ＜ ０时，方程（■）没有实根.

例１ ｋ为实数，讨论一元二次方程ｘ２ ＋ （ｘ － ｋ）２ ＝ １６……①根的情况.

解 将方程①化为关于ｘ的一元二次方程的一般式：２ｘ２ － ２ｋｘ ＋ ｋ２ － １６ ＝ ０，Δ ＝ （－２ｋ）２ － ４ × ２（ｋ２ － １６） = -4k2 + 128.

当Δ ＝ -4k2 + 128 ＞ ０，即－４■ ＜ ｋ ＜ ４■时，方程①有两个不相等实根；

当Δ ＝ -4k2 + 128 ＝ ０，即ｋ ＝ －４■或４■时，方程①有两个相等实根；

当Δ ＝ -4k2 + 128 ＜ ０，即ｋ ＜ －４■或ｋ ＞ ４■时，方程①没有实根.

（２）求方程的整数解

例２ 求方程x2 + 3y2 = x - y - 2xy②的整数解.

解 把②化成关于ｘ的一元二次方程的一般式：ｘ２ ＋ （２ｙ－ １）ｘ ＋ ３ｙ２ ＋ ｙ＝ ０，Δ ＝ （２ｙ － １）２ － ４ × １ × （３ｙ２ ＋ ｙ） = -8y + ■2 + 3，因ｘ为实数，故Δ ≥ ０，即-8y + ■2 + 3 ≥ ０，解得：-■ - ■ ≤ y ≤ ■ - ■，又ｙ为整数，故ｙ ＝ －１和０，易得原方程的整数解：x = 1，y = -1，x = 2，y = -1，x = 0，y = 0，x = 1，y = 0.

2. 代数式中的应用

（１）用于二次三项式ax2 + bx + c（ａ ≠ ０）……（■）在实数内因式分解或判别. 若Δ ＞ ０，（■）式在实数内可分解成两个不同的一次因式的积；若Δ ＝ ０，（■）式在实数内可分解为两个相同的一次因式的积；若Δ ＜ ０，（■）式在实数内不能分解因式.

例３ 讨论二次三项式5x2 - 6x + m③在实数内因式分解的情况.

解 Δ ＝ （－６）2 - 4 × 5m = 36 - 20m.

若Δ ＞ ０，即ｍ ＜ ■时，③ 式在实数内可分解成两个不同的一次因式的积；

若Δ ＝ ０，即ｍ ＝ ■时， ③ 式在实数内可分解成两个相同的一次因式的积；若

Δ ＜ ０，即ｍ ＞ ■时，③式在实数内不能分解因式.

（２）用于代数式求最值

例４ ｘ为实数，求代数式：■……④的最值.

解 设■ ＝ ｙ，去分母整理，得

（ｙ － ６）ｘ２ ＋ （２ｙ －１２）ｘ ＋ ２ｙ － １０ ＝ ０.（*）

Δ ＝ （２ｙ － １２）２ － ４（ｙ － ６）（２ｙ － １０） ＝ －４（ｙ － ５）２ ＋ ４.

因为ｘ为实数且■ｘ２ ＋ ｘ ＋ １ ≠ ０，故Δ ≥ ０，

即－４（ｙ － ５）2 + 4 ≥ ０，解得：4 ≤ y ≤ 6.

但y = 6时，方程（*）无意义，所以y ≠ 6，故④式有最小值４.

3. 不等式中的应用

例５ 已知：■a - 2011 b = c……⑤，求证：a2 ≥ 4bc.

证明 设■ = x，则⑤式为：xa - x2b = c，即bx2 - ax + c = 0，因ｘ为实数，故Δ ＝ （－ａ）2 - 4bc ≥ 0，即：a2 ≥ 4bc.

４. 二次根式中的应用

例６ 已知方程x2 - 2ax + a2 + a - 1 = 0没有实数根，化简：■ - ■ - a.

解 因为方程x2 - 2ａｘ ＋ ａ２ + a － １ ＝ ０没有实数根，

故Δ ＝ （－２ａ）２ － ４ × １ × （ａ２ ＋ ａ － １） < ０，解得：ａ > １.

所以■ - ■ - a＝ ■ - ■ - a =

|a - 1| - ■ - a.

又ａ > １，所以a - 1 > ０，■ - a < ０；

故■ - ■ - a ＝ a - 1 - -■ - a ＝

a - 1 + ■ - a = -■.

５.二次函数中的应用

（１）判别抛物线ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（ａ ≠ ０）……（＆）与ｘ轴的交点. 若Δ ＞ ０，则抛物线（＆）式与ｘ轴有两个交点；若Δ ＝ ０，则抛物线（＆）式与ｘ轴有一个交点；若Δ ＜ ０，则抛物线（＆）式与ｘ轴无交点.

（２）判别抛物线ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（ａ ≠ ０）……（☆）与直线ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｍ……（◇）的位置. 将（☆）与（◇）组织方程组，消去ｙ得关于ｘ的一元二次方程. 当Δ ＞ ０时，抛物线（☆）与直线（◇）相交；当Δ ＝ ０时，抛物线（☆）与直线（◇）相切；当Δ ＜ ０时，抛物线（☆）与直线（◇）相离.

只要我们潜心研究，还可发现一元二次方程差别式在更多领域的应用. 联农业化学家普良尼施尼柯夫说：“知识不是某种完备无缺、纯净无瑕、僵化不变的东西. 它永远在创新，永远在前进. ” 教学中，教师只要对学生认真引导，培养学生自主学习、合作学习、探究学习的学习精神，学生就会掌握更多解决数学问题的方法，感受学习成果的愉悦，提高数学兴起，也为学生终身学习数学、研究数学打下良好基础.