如何计算三角有理式的不定积分

赵陈煜 叶彩儿 夏慧珠 胡海龙

【摘要】讨论了三角有理式的不定积分的计算方法，并举例加以说明.

【关键词】三角有理式；不定积分；高等数学

三角有理式的不定积分是高等数学中的重点和难点，也是各类考试的常见题型.在各类数学竞赛及历年考研试题中时有出现.本文分类总结了三角有理式的不定积分的计算方法，并伴有例题加以说明.

一、三角有理式的积分

三角有理式：由sinx，cosx及常数经过有限次四则运算所得到的函数，记为R（sinx，cosx）.А要R（sinx，cosx）dx称为三角有理式的积分.

思路提示：

（1）尽可能使分母简单，可使分子、分母同乘以某个因子，把分母化为sin琸x（或cos琸x）.

（2）尽量使R（sinx，cosx）的幂次降低，通常使用倍角公式、积化和差公式.

（3）对于三角有理式的积分，利用万能公式均可求解，但万能公式一般不是最好的方法，可能比较繁琐.

二、积分方法

具体说来，大概有以下几种方法：

1.万能公式法

因为

sinx=2tanx21+tan2x2=令u=tanx22u1+u2，cosx=1-tan2x21+tan2x2=令u=tanx21-u21+u2，dx=21+u2du，

所以А要R（sinx，cosx）dx=А要R2u1+u2，1-u21+u2·21+u2du.

例1 А要1sin4xdx.

解1 令u=tanx2，则sinx=2u[]1+u2，cosx=1-u2[]1+u2，dx=2[]1+u2du，则

А1[]sin4xdx=∫1+3u2+3u4+u6[]8u4du=1[]8-1[]3u3-3[]u+3u+u3[]3+C

=-124tanx23-38tanx2+38tanx2+124tanx23+C

=-124（cotx2）3-38cotx2+38tanx2+124tanx23+C

解2 令u=tanx，则sinx=u1+u2，dx=11+u2du，则

А1sin4xdx=∫1（u1+u2）4·11+u2du=∫1+u2u4du

=-1[]3u3-1[]u+C=-13cot3x-cotx+C.

2.巧用1=sin2x+cos2x

例2 А襠xsin3xcos5x.

解 1sin3xcos5x

=sin2x+cos2x[]sin3xcos5x=1sinxcos5x+1sin3xcos3x

=sin2x+cos2xsinxcos5x+sin2x+cos2xsin3xcos3x

=1sinxcos3x+sinxcos5x+1sinxcos3x+1sin3xcosx

=2sinxcos3x+sinxcos5x+sin2x+cos2xsin3xcosx

=2sinxcos3x+sinxcos5x+1sinxcosx+cosxsin3x

=2sin2x+cos2xsinxcos3x+sinxcos5x+1sinxcosx+cosxsin3x

=sinxcos5x+2sinxcos3x+cosxsin3x+3sinxcosx

=sinxcos5x+2sinxcos3x+cosxsin3x+312sin2x.

原积分=А襰inxcos5x+2sinxcos3x+cosxsin3x+312sin2xdx

=14cos4x+1cos2x-12sin2x+3lncsc2x-cot2x+C.

3.可化为单项式的积分

常用公式：1+cosx=2cos2x2，1-cosx=2sin2x2.若分母含有1±sinx，则分子、分母同乘以（1簊inx），若分母含有cosx±sinx，则分子、分母同乘以（cosx簊inx）.

例3 А襰inx1+sinxdx.

解 被积函数分子、分母同乘以（1-sinx），有

А襰inx1+sinxdx=∫sinx（1-sinx）cos2xdx=∫sinxcos2xdx-∫1-cos2xcos2xdx=1cosx-tanx+x+C.

4.被积函数是sin琻xcos琺x时，分两种情形

（1）若m与n至少有一个为奇数，不妨设m=2k+1（k是自然数，n∈N+），则设t=sinx即可.如：

А襰in琻xcos琺xdx=∫sin琻xcos2kxcosxdx=∫sin琻x（1-sin2x）琸dsinx=令t=sinx∫t琻（1-t2）琸dt.

例4 А襱an3xcosxdx.

解

原式=А襝os-72x·sin3xdx=∫cos-72x·（1-cos2x）·sinxdx=-∫cos-72x·（1-cos2x）dcosx

=-∫cos-72xdcosx+∫cos-32xdcosx=25cos-52x-2cos-12x+C.

（2）若m与n都是偶数，则由三角公式：

sin2x=12（1-cos2x），cos2x=12（1+cos2x），sinxcosx=12sin2x，

将被积函数化简，其结果：一种情况，含有sin2x或cos2x的奇数次幂，这时可由上述（1）求之；另一种情况，仍含有sin2x或cos2x的偶数次幂，再用上述三角公式化简，化成含有以sin4x与cos4x为变数的幂函数的相乘积.以下类推.

例5 А要sin2xcos4xdx.

解 А襰in2xcos4xdx=∫sin2xcos2xcos2xdx=∫sin22x4·1+cos2x2dx=18∫sin22xdx+18∫sin22x·cos2xdx=116∫（1-cos4x）dx+116∫sin22xdsin2x=116x-164sin4x+148sin32x+C.

5.若被积函数是sinmxsinnx，sinmxcosnx，cosmxcosnx时，则用积化和差公式

sinmxsinnx=12[cos（m-n）x-cos（m+n）x]，

sinmxcosnx=12[sin（m+n）x+sin（m-n）x]，

cosmxcosnx=12[cos（m+n）x+cos（m-n）x].

例6 А要sin4xcos2xcos3xdx.

解 sin4xcos2xcos3x=12（sin6x+sin2x）cos3x=12sin6xcos3x+12sin2xcos3x

=14sin9x+14sin3x+14sin5x-14sinx.

原积分=14А要В╯in9x+sin3x+sin5x-sinx）dx

=-136cos9x-120cos5x-112cos3x+14cosx+C.

6.若被积函数是sect琺xtan琻x，则分情况讨论

（1）若m为偶数，则

А襰ec琺xtan琻xdx=∫sec琺-2xsec2xtan琻xdx=∫（1+tan2x）琺2-1tan琻x（tanx）′dx.

此时，令u=tanx就可以把上式积分化为多项式的积分.

例7 А襰ec6xdx.

解 ∫sec6xdx=∫sec4xsec2xdx=∫（1+tan2x）2dtanx

=∫（1+2tan2x+tan4x）dtanx=tanx+23tan3x+15tan5x+C.

（2）若m=0，则得积分А襱an琻xdx，此时若n≥0，则得

∫tan琻xdx=∫tan琻-2xtan2xdx=∫tan琻-2x（sec2x-1）dx

=∫tan琻-2xsec2xdx-∫tan琻-2xdx=1n-1tan琻-1x-∫tan琻-2xdx.

通过递推求得积分.

（3）若m为奇数，n为偶数，利用tan2x=sec2x-1及不定积分的线性性质，最后可化为求形如∫sec2k-1xdx的积分.

例8 I璶=∫sec2n+1xdx，证明：当n≥1时，I璶=tanxsec2n-1x2n+2n-12nI璶-1.

证 当n≥1时，

I璶=∫sec2n-1xdtanx=tanxsec2n-1x-∫（2n-1）sec2n-1x·tan2xdx

=tanxsec2n-1x-∫（2n-1）sec2n-1x（sec2x-1）dx

=tanxsec2n-1x-（2n-1）（I璶-I璶-1）.

I璶=tanx·sec2n-1x2n+2n-12nI璶-1.

例9 А要sec3xdx.

解

А襰ec3xdx=∫sec2xsecxdx=secxtanx-∫tan2xsecxdx

=secxtanx-∫（sec2x-1）secxdx=secxtanx+lnsecx+tanx-∫sec3xdx.

А要sec3xdx=12（secxtanx+lnsecx+tanx）+C.

（4）若n为奇数，则

А襰ect琺xtan琻xdx=∫sect琺-1xtan琻-1xsecxtanxdx=∫sec琺-1x（sec2x-1）琻-12（secx）′dx.

此时，令u=secx（第一类换元法）就可以把上式化为多项式的积分.

例10 А襱an5xsec3xdx.

解 ∫tan5xsec3xdx=∫tan4xsec2xsecxtanxdx=∫（sec2x-1）2sec2xdsecx=∫（sec6x-2sec4x+sec2x）dsecx=17sec7x-25sec5x+13sec3x+C.

例11 求А襰inxasinx+bcosxdx.

解 因为

asinx+bcosxasinx+bcosx=asinxasinx+bcosx+bcosxasinx+bcosx，

令I1=∫sinxasinx+bcosxdx，I2=∫cosxasinx+bcosxdx，则有

aI1+bI2=∫asinxasinx+bcosxdx+∫bcosxasinx+bcosxdx=∫asinx+bcosxasinx+bcosxdx=x+C1，

aI2-bI1=∫acosx-bsinxasinx+bcosxdx=∫d（asinx+bcosx）asinx+bcosx=ln|asinx+bcosx|+C2.

由上述两式，可以解得

I1=А要sinxasinx+bcosxdx=1a2+b2（ax-bln|asinx+bcosx|）+C.

结束语

综上所述，三角有理式的不定积分的计算方法较多，需初学者多做练习，多做总结，熟练掌握.

【参考文献】

[1]刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义（第四版）[M].高等教育出版社，2006.

[2]同济大学数学系.高等数学（上册）（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]陈文灯，黄先开.考研数学复习指南（经济类）（2009版）[M].世界图书出版公司，2008.