例谈平面向量在解题中的应用

冷延锋

向量是中学数学的一个重要内容，向量解题是中学数学解题教学的一个难点.运用向量知识解题，方法新颖，运算简捷，是启发学生思维的有效途径之一，本文通过一些例子来谈谈平面向量在函数最值、三角求值、不等式证明、等式证明、和解析几何方面解题中的应用.

一、函数最值

例1 求函数f（x）=5x+6-x的最大值及相应的x的值.

解 设向量a=（5，1），b=（x，6-x，）

则f（x）=a·b≤|a|·|b|=5+1×6=6，

当且仅当b=ka（k>0）时取等号，

∴x[]5=6-x[]1，

∴x=5时，f（x）有最大值为6.

二、三角求值

例2 已知cosα+cosβ=1[]2，sinα+sinβ=1[]3.求cos（α+β）的值.

解 构造向量a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），则a+b=1[]2，1[]3.|a|=1.|b|=1.

a·b=cosα·cosβ+sinα·sinβ=cos（α-β）.

∴（a+b）2=1[]22+1[]32=13[]36.

即a2+2a·b+b2+b2=13[]36.∴a·b=1[]213[]36-2=-59[]72.故cos（α+β）=-59[]72.

例3 求y=3sinx+cosx函数的最大值与最小值.

解 构造向量a=（3，4），b=（sinx，cosx）则y=a·b.|a|·|b|=3sinx+cosx≤5.由-|a|·|b|≤a·b≤|a|·|b|得

-5≤3sinx+cosx≤5，∴y=3sinx+cosx的最大值是5.最小值是-5.

三、不等式证明

例4 证明：对于任意的a，b，c，d∈R恒有不等式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）.

证明 构造向量u=（a，b），v=（c，d）.则u·v=|u||v|cosθ（其中θ为向量u，v的夹角）.

ac+bd=a2+b2c2+d2cosθ，

（ac+bd）2=（a2+b2）（c2+d2）cos2θ≤（a2+b2）（c2+d2）.当且仅当u，v同向时，等号成立.

例5 已知a>b>c，求证：1[]a-b+1[]b-c+1[]c-a>0.

解 设u=（a-b，b-c），v=1[]a-b，1[]b-c.

由|u|2·|v|≥（u·v）2得：[（a-b）+（b-c）]-1[]a-b+1[]b-c≥（1+1）2.

即：1[]a-b+1[]b-c≥4[]a-c>1[]a-c.∴1[]a-b+1[]b-c+1[]c-a>0.

四、等式证明

例6 试证：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

证明 设向量AB=（cosα，sinα），CD=（cosβ，sinβ），

∴AB·CD=cosαcosβ+sinαsinβ.

设向量AB与CD的夹角为θ，则cosθ=cos（α-β）.

由cosθ=AB·CD[]|AB|·|CD|=cosαcosβ+sinαsinβ，

即得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

五、解析几何

例7 已知一个圆的直径两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），求此圆方程.

解 设P（x，y）为圆上异于A，B的点，由圆周角定理得AP⊥BP，若P（x，y）是与点A或B重合的点，则AP=0或BP=0，故都有AP·BP=0成立，从而（x-x1）（y-y1）+（x-x2）（y-y2）=0，此即为所求圆方程.

例8 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.

证明 设Ay21[]2p，y1，By22[]2p，y2.Fp[]2，0，D-p[]2，y璂.则FA=y21[]2p-p[]2，y1，FB=y22[]2p-p[]2，y2.

因为FA与FB共线，所以y21[]2p-p[]2y2-y22[]2p-p[]2y1=0.

整理得y1·y2=-p2，所以y2=-p2[]y1.OA与OD是共线向量，y21[]2p·y璂-p[]2·y1=0，所以y璂=-p2[]y1.

从而y2=y璂.即BD平行于抛物线的对称轴.

向量方法作为解决数学问题的强有力工具，纵观历年的高考、竞赛试题，其优势是不言而喻的.另外向量、所蕴涵的丰富的数学思想方法，如数形结合、构造模型、化归转换、平移变换等，有益于发展学生的思维能力，激发其创新活力.巧用向量，就能很容易地解决相关问题.