浅谈函数值域的求法

徐孝慧

对于步入高一，刚学过函数的概念、定义域、值域的学生来说，遇到解函数值域问题时，方法经常会乱套.下面我就对这类学生阐述几种常见的求函数值域的方法.

题目 求函数y=1[]x2+x+1的值域.

问题转化成：求函数y=x2+x+1的值域.

1.图像法

分析 这是一个一元二次函数，要求它的值域，可以先画出它的图像，根据图像写出它的值域，这也是求值域的一种方法，称图像法.

2.配方法

同时，要画一元二次函数的图像，一般要找对称轴，当然也就要对函数表达式进行配方，这里表达式y=x2+x+1可以配成x+1[]22+3[]4，从而直接可以看出y≥3[]4，直接得到原函数的值域.这种通过配方求得函数值域的方法，我们称为配方法.

所以，函数y=x2+x+1的值域为yy≥3[]4.

注 在用配方法求函数值域的时候一定要注意等号成立的条件.例如：对于y=x2+1[]x2的配方，它既可以配成x-1[]x2+2，也可以配成x+1[]x2-2，但答案只有一个.

得到了函数y=x2+x+1的值域，并没有解决我们例1的问题，还要进一步的去计算，去求倒数.

3.不等式法

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利用不等式去求y的范围，从而得到函数的值域，这样的方法也就称为不等式法.

以上是通过先求我们熟悉的一元二次函数的值域，再求原函数的值域，那么，我们能不能直接去求该函数的值域呢？

4.判别式法

从函数本身出发，这是一个分式表达式，并且该函数的定义域是一切实数，也就是说，对于任意的x，此表达式都有意义.如果我们把x看成是自变量，y看成参数，并把分式等式化成我们熟悉的整式方程，则会得到一个关于x的方程yx2+yx+（y-1）=0，并且方程有根.

解 由y=1[]x2+x+1可化成yx2+yx+（y-1）=0，

由于函数的定义域为R，所以

注 此方法使用的前提条件比较苛刻，有一定的局限性，原函数的定义域必须是一切实数，否则该方法就不可用.所以一般情况下，我们不提倡用此方法.

求函数y=x-1[]x+2的值域.

分析 这函数仍然是一个分式的形式，但和例1又有所区别，它的分子分母都含有x，都是变化的，那么能不能化成和例1形式接近的表达式呢？

5.分离常数法，又名中间变量求值域法

解 将分式的分子变成常数：

所以所求函数的值域为{y|y≠1}.

如果没有例1的提示，仅仅看这个分式，从表达式上看，可以把y看成是x的函数，表达式有意义的x的集合就是函数的定义域；我们也可以把x看成是y的函数，则使表达式有意义的y的集合就是函数x=g（y）的定义域，也就是函数y=f（x）的值域.从而有求y范围的另一种方法：

6.反表示法

注 ①在本题中未提及函数的定义域，所以函数的定义域为使得表达式有意义的x的集合.若对题中的x加上范围，如x≥-4，则只要解不等式2y+1[]1-y≥-4即可.

②有些时候要从原表达式中解出x比较困难，并且还要解关于y的不等式，计算量会比较大，容易出错，需要我们有足够的耐心.