无理函数积分的一些方法

常军

【摘要】给出无理函数积分的几种方法，对提高学生解题能力、发展学生思维能力有一定意义.

【关键词】无理函数；积分；方法

对于无理函数的积分，一般高等数学教材中只介绍了变量替换法和求被积函数中含有简单根式x2±a2和nax+bcx+d等情形.但实际遇到的有些无理函数积分问题，利用变量代换计算往往比较复杂，有些甚至还无法计算，虽然利用积分表可以查到结果，但从培养学生思维能力的角度讲并无益处.现把无理函数的积分归纳为以下几种方法，对提高学生解题能力、发展学生思维能力有一定意义.

一、凑微分法

例1 求А襵+3x2+6x+4dx.

解∫x+3x2+6x+4dx=12∫d（x2+6x+4）x2+6x+4=x2+6x+4+C.

例2 求∫dxx+x2 .

解

∫dxx+x2=∫1x+1xdx=∫1x+1x+11x+x+1dx=2∫1x+x+1d（x+x+1）=2lnx+x+1+C.

二、分项积分法

例3 求∫x2x2+1dx.

解 ∫x2x2+1dx=∫x2+1-1x2+1dx=∫x2+1dx-∫1x2+1dx=12[xx2+1-ln|x+x2+1|]+C.

三、分部积分法

例4 求∫x+x2dx.

解

∫x+x2dx=xx+x2-∫（1+2x）x2x+x2dx=xx+x2+12∫xx+x2dx-∫x+x2dx.

∫x+x2dx=12xx+x2+14∫xx+x2dx=14x+x2（2x+1）-18lnx+12+x+x2+C.

四、换元法

例5 求∫31+4xxdx.

解

设t=31+4x， 所以 x=（t3-1）4dx=12t2（t3-1）3dt.∫31+4xxdx=12∫（t6-t3）dt=127t7-3t4+C=127（1+4[]x）73-3（1+4[]x）43+C.

五、欧拉代换法

例6 求∫x31+x2dx.

解

令1+x2=xu-1，则x=2uu2-1 dx=-2u2+2（u2-1）2du. ∫x31+x2dx=-16∫u3（u2-1）4du=-8∫u2-1+1（u2-1）4d（u2-1）=4（u2-1）2+83（u2-1）3+C=x4（1+1+x2）2+x63（1+1+x2）3+C.

虽然无理函数的积分比较复杂，但通过典型题目的训练，认真分析、总结，是可以达到熟练掌握无理函数积分的教学要求的.从被积函数的特点出发寻找不同的处理方法，从中去探索、发现数学规律，充分调动学生学习的主动性，培养学生的创新能力.在高等数学教学过程中渗透创新能力的培养，这是素质教育的要求，数学创新教育主要是发展学生的思维能力，使他们在数学问题的探索中有新的发现，在数学方法上有所创新，在思维层次上有新的提高.