例谈反例教学在数学学习中的作用

纪昌江

从逻辑学上讲，若说明一个命题是正确的，必须经过严密的推证；而要说明一个命题是错误的，却只须举出一个“反例”，即举出一个符合命题的条件而不符合该命题的结论（或与某一已经证实的正确结论）的示例就可以了，这种与命题相矛盾的示例即称为反例.

对于一个命题来说，反例是简明有力的否定方法；而对于学生的学习过程来说，它又是加深对概念、定理等数学对象理解的重要手段，更是我们认识一个新问题（或新数学对象）过程中的认知规律之一. 在数学教学中教师若能通过反例的教学，对学生所犯的错误加以剖析，让学生从分析中认识到“错误”产生的原因，这对学生准确而深刻地把握概念，掌握知识与方法，预防知识性或方法性的错误，乃至提高学习数学的兴趣，形成严谨的思维品质，都将会起到积极的作用.

一、运用反例，深入概念内涵，拓展概念外延

教育心理学研究表明：“概念或规则的正例传递了最有利于辨别的信息. ”即人们在获得一个正确认识的过程中，往往要经过正反两方面的比较和鉴别，才能完整地将新的认知“同化”于原有的认知结构之中. 因为正面示例，只是回答了什么情况下“是”的问题，而“反例”显然通过另一个侧面抓住该概念的本质，回答了什么情况下“不是”的问题，即从认知的反方向，帮助学生加深对概念的认识.

例1 在学习定理“两边极其夹角对应相等的两个三角形全等”时，同学们自然想到结论“有两边及其中一边的对角对应相等”，教师可以引导学生动手画图，寻找是否会出现“例外”的情况，结果会出现这样的反例：如图，在△ABC和△ABD中，AB = AB，BC = BD，∠A = ∠A，但△ABC与△ABD不全等. 由此可以引导学生思考：需要再添加什么条件两个三角形就全等了，由画图可知，只要两个三角形都是锐角三角形，它们就全等了.

二、引入反例，深刻理解定理，全面掌握性质

学生在学习一个新的定理、性质时，往往会因为种种原因而忽略定理、性质中关键词语的理解与挖掘，从而造成认知“缺陷”，导致问题解决时的错误运用. 若在教学中恰当引入反例，可以帮助学生牢记定理的关键词语，并从“认知策略”上全面认識和掌握新知识，继而形成良好的思维习惯与方式.

三、构造反例，准确把握法则，灵活运用公式

新课程要求变革传统、单一的课堂，让学生有机会在产生知识的过程中学习. 心理学家对人类认知活动的研究表明：对一个新事物的理解与运用，只有建立成功的经验和失败的教训的互相作用之下，有了一定的过程，才能真正地正确理解及灵活运用. 数学中的很多性质、法则都是以公式的形式出现的，它们也一般都有一定的适用范围. 运用过程中，学生出一点错误本属正常现象. 但是，教师应该让这种“正常”现象，尽快地在学生的认知过程中“自觉”消失. 教学中若有目的地恰当引用一些反例，能加深学生对公式、法则的适用条件的认识与理解，使他们达到对公式、法则有效的理解与掌握，从而在对比中积累“灵活运用”的机智，让这种“正常”现象化归“不正常”，最终从暂存的记忆中抹去.

四、借助反例，增强防范意识，提高纠错能力

由命题结构可知，中学范畴的数学结论可划分为三类：① 充要条件型，② 充分条件型，③ 必要条件型. 特别是②③两种类型，在问题解决的应用时，学生经常会出现差错，并且极不易发现错误所在. 倘若让学生在“反例”和“反问”中探索、讨论，则可增长“策略性知识”，修正原有的“陈述性知识”模块，提升其思维的准确性和防错意识，帮助他们发现问题，分析错误原因，找出正确的解题方法.

例4 已知关于x的方程x2 - mx - m + 3 = 0的两个根都大于-5，求m的取值范围.

错解 由题意得， x1 > -5，x2 > -5，Δ ≥ 0，所以x1 + x2 = m > -10，x1x2 = -m + 3 > 25，Δ = m2 - 4（-m + 3） ≥ 0，

即m > -10，m < -22，m ≥ 2或m ≤ -6，所以这样的m不存在.

反例 若取m = 2时方程为x2 - 2x + 1 = 0，它的两个根为1都大于-5. 所以这道题并非无实数解. 所以上述解答是错误的.

事实上，x1 > -5x2 > -5与x1 + x2 > -10x1x2 > 25并不等价. 前者是后者的充分条件，但不是必要条件，其错误的原因是将充分条件当作“充要条件”使用了.

新课程改革要求教师帮助学生设计恰当的学习活动和形成有效的学习方式. 数学教学中，适时地、恰当地引入一些反例，对于巩固和掌握概念、公式、定理和法则，培养和发展学生的思维能力，特别是批判思维、逆向思维和逻辑思维能力，活跃课堂气氛，都有着不可估量的作用.