例谈数学教学中学生认知上的误区

张兴余

学生在学习数学知识过程中，由于学习习惯和学习方法的不当，还有教师教学方法的不合理，给数学学习带来许多障碍，使学生认知产生误区. 教师要重视这个问题，进行诊断，采取方法解决学生认知上的误区.

一、例题

例1 在七年级的一次课堂练习中，我给出这样的一个问题：

观察下列等式：（x - 1）（x + 1） = x2 - 1；（x - 1）（x2 + x + 1） = x3 - 1；（x - 1）（x3 + x2 + x + 1） = x4 - 1；……

（1）请你猜想一般规律：（x - 1）（xn + xn-1 + xn-2 +… + x2 + x + 1） =；

（2）已知x3 + x2 + x + 1 = 0，求x2008的值.

小明同学想了一会儿之后发现了解题思路，在征得老师的同意后回答：

（1）（x - 1）（xn+xn-1 + xn-2 + … + x2 + x + 1） = xn+1 - 1.

（2）∵ （x - 1）（x3 + x2 + x + 1） = x4 - 1，且x3 + x2 + x + 1 = 0.

∴ x4 - 1 = 0，x4 = 1，x = 1，

∴ x2008 = 12008 = 1.

小红同学又提出可以这样解，在求出x4 = 1之后，不需要求出x的值，也能够求出x2008的值，先将x2008 = （x4）502 = 1502 = 1.

首先我对两名同学的两种解法给予了充分肯定，及时表扬了两名同学快速而准确的解答；接着我又问“同学们他们两人的解法，谁更合理？”. 同学们在底下小声议论，有人说小明同学的方法更容易理解和接受，而小红的方法要将x2008进行变形，比较麻烦.

我又问你们会求x2007的值吗？谁会解？小亮同学不加思索的回答：这很简单，因为x = 1，所以x2007 = 1，小亮对自己的回答感到非常满意.

例2 在学习同底数幂的除法的时候，我提出这样一个问题：当x =时，（x + 2）x - 1 = 1.

小王同学抢着回答：因为任何数的零次幂都等于1，所以当x = 1时，（x + 2）x-1 = 1.

小王同学为自己精彩的回答而洋洋得意. 这时小红同学说：“他的解答不完整，当x = -1时，（x + 2）x-1 = 1，所以x可以取1或-1. ”我及时地追问：“同学们对这道题还有什么看法，x还可以取其他的值吗？”同学们面面相觑，还有其他的值？

例3 在学完一次函数这一章复习时，有这样一道题：已知一次函数y = kx + b的图像经过点（1，-2），（0，-4）.

（1）求这个一次函数的表达式.

（2）画出这个一次函数的图像.

在同学们求出一次函数的表达式和画出这个一次函数的图像之后，进行追问：一次函数的图像是什么？同学们不约而同地回答：一次函数的图像是一条直线.

我接着又说：“点燃一支20 cm长的蜡烛，蜡烛燃烧剩下的长度s（cm）是蜡烛燃烧的时间t（h）的一次函数，已知蜡烛燃烧0.5小时后剩下的长度是15 cm，求出s与t之间的关系式并且画出它的图像，它的图像与前面所画的一次函数的图像相同吗？”.

同学们很快求出一次函数的关系式是y = -10x + 20，也很快画出这个一次函数的图像，它是一条直线，同学们十分自信地回答.

二、归因分析

从例1的解答结果可得x = 1，显然与事实不符，全班同学都没有看到问题的症结，他们都忽略了运用等式的基本性质的前提条件，前提条件是等式的两边都乘以或除以（不等于零的）一个数或一个整式. 小明同学在等式的两边都乘以（x - 1），而求出的结果 x = 1，把x = 1代入x - 1 = 0，显然与等式的基本性质相悖，正确的结果是x = -1，从而得出x2008 =1，x2007 = -1. 小红的解法求x2008的值是正确的，但是求x2007的值是困难的，这种方法有时可用，具有一定的局限性. 从上述情况可以看到对等式的基本性质的认识和理解不够清楚，因此在运用等式的基本性质解决问题时有时会发生错误，这是学生认知的一个盲区，教师在教等式的基本性质时要对形式认知薄弱的地方加以足够地重视，在运用等式的基本性质解决问题的过程中不断进行强化，就能扫清学生认知上的盲区. 理解了等式的基本性质，就不难理解分式方程为什么要检验根的合理性，根据等式的基本性质方程两边所乘的最简公分母是不能等于0的，当求出的未知数的值使最简公分母等于0时，违背了等式的基本性质，因此这个未知数的值是方程的增根. 教师在教学过程中要强调结论存在的条件，这个过程需要不断循环往复地进行，不可能一蹴而就.

从例2的解答可以看出学生受“任何非零数的零次幂都等于1”的干扰，这又是学生认知上的一个误区，许多学生认为xn = 1，是由幂中的指数决定的，这是认识上的错误，学生忽视1的特殊性，除了非零数的零次幂都等于1，还有1的任何次幂都等于1，以及-1的偶次幂也等于1 .

从例3发现学生对一次函数的有关知识的认识也是存在误区的，例如对一次函数的图像的认识，学生始终认为一次函数的图像是一条直线，我认为这是我们数学教师教学上缺失的一个地方，给学生带来认知障碍，引起认知的副作用. 一次函数的图像是一条直线的条件是在整个实数范围内，但当自变量的取值范围发生变化时一次函数的图像有时也跟着一起变化.

例如一次函数y = -10x + 20，

当x取一切实数时，它的图像是一条直线；

当x > 2时，它的图像是一条射线；

当0 ≤ x ≤ 2时，它的图像是一条线段.

所以教师在一次函数的图像教学时一定要重视这个问题，近几年各地的数学中考考察画一次函数的图像的题不多，但是如果数学中考出现一个实际问题情境的一次函数要求画出该函数图像，那么学生的错误率和失分率是令人难以接受的.

发生以上错误反映学生对数学概念、公式、法则的内涵和外延理解不透；对概念、公式、法则的适应范围混淆不清；解题过程中学生往往忽略了隐含条件；数学基本技能缺乏；数学基本的思想方法没有领会及正确地运用等.

总之，出现以上问题反映平常教学过程中存在教与学的问题，促使我教师对教学进行反思，对出现的问题进行研究和探讨. 课程改革要求转化学生的学习方式，由被动的学习方式转化主动、积极的学习方式，以此调动和激发学生的学习兴趣，促使学生产生内在的学习动力. 同时要求教师也要改变教学模式，转变教学理念，选择教学策略，提高教学效果.