“等差•等比”型数列求和之配导法

李瑞阳

对于“等差•等比”型数列的求和，大家都熟悉的方法自然是错位相减法，此法也是要求学生熟练掌握的一种方法，除此之外，恐怕很少有学生会去考虑是否还有其他方法，对于教师，长期以来也都是教学生如何正确地用错位相减法去解决此类数列求和问题。

一个偶然的发现，在跟学生演示几何分布的期望的推导过程中，研究并推广了另一种方法，下面将研究过程陈述如下：

设随机变量 服从几何分布，其分布列为：

其中p代表试验成功的概率，q=1－p

则 的期望E =p+2qp+3q2p+…+nqn-1p+…

=p（1+2qp+3q2+…+nqn-1+…）①

括号内是一个典型的“等差•等比”型数列的求和的极限，错位相减法的过程就不再复述，下面将导数法的全过程再现如下：

①式=p（q+q2+q3+…+qn+…）'

=p［］'

=p［］'=p=

从推导过程看得出，原本是错位相减法解决的类型，转化成幂函数的和求导，问题也能解决。

于是我们会猜想：是不是所有的“等差•等比”型数列的求和都可以实现这样一个转化呢，错位相减法是否并非解决此类问题的唯一方法？

经过研究回答是肯定的，并可以得出一个“等差•等比”型数列的求和公式，我将这种方法命名为“配导法”，下面详细介绍如下：

首先准备两个“材料”：i）任何等差数列{an}的通项都可用an=dn+b（d、b为常数）表示，其中公差为d；ii）任何等比数列{bn}的通项都可用bn=pqn-1（p、q为常数）表示，其中公比为q。

于是所有“等差•等比”型数列{cn}的通项都可用cn=（dn+b）pqn-1表示，为了研究它的求和公式，我们先研究一个比它略为简单的数列的求和。

设数列c'n=（n+c）qn-1，其前n项和设为Sn

则Sn=c'1+c'2+c'3…c'n

=（1+c）+（2+c）q+（3+c）q2+…+（n+c）qn-1

=（1+2q+3q2+…+nqn-1）+c（1+q+q2+…+qn-1）

=（q+q2+q3+…+qn）'+c

=［］'+

=－ （*）

我们只要把数列cn=（dn+b）pqn-1先处理一下就可以套用公式（*）

cn=（dn+b）pqn-1=dp（n+）qn-1

下面举例对“配导法”进行应用：

例1.已知数列{an}的通项为an=（2n－1）•3n，求它的前n项和Sn

解： an=6（n－）•3n-1

设bn=（n－）•qn-1其前n项和记为Bn

则Bn=（1－）+（2－）q+（3－）q2+…+（n－）qn-1

=（1+2q+3q2+…+nqn-1）－（1+q+q2+…+qn-1）

=（q+q2+q3+…+qn）'－•

=［］'－•

=－•

将q=3代入上式得

Bn=－•

=•3n+

（或者将c=－，q=3直接代入公式（*）也可得上式结果）

∴Sn=6Bn=（n－1）3n+1+3

例2. 数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn（n∈N*）.

（Ⅰ）求数列{an}的通项an；

（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Tn．

解：（Ⅰ） ∵an+1=2Sn（n∈N*） ①

∴当n≥2时，an=2Sn-1②

①－②：an+1－an=2an即：an+1=3an（n≥2）

将n=1代入①式得a2=2S1=2a1=2

∴{an} 是从第二项开始且a2=2，公比为3的等比数列

∴ an=

（Ⅱ） Tn=1•a1+2•a2+3•a3+4•a4+…+nan ③

记 Kn=2•a2+3•a3+4•a4+…+nan

=2•2+3•2•3+4•2•32+…+n•2•3n-2

=2[2+3•3+4•32+…+n•3n-2+（n+1）•3n-1－（n+1）•3n-1]（补项）

将c=1，q=3 代入公式（*）得：

Kn=2[qn－－（n+1）•3n-1]

=2[3n－－（n+1）•3n-1]

=（n－）•3n-1－（n≥2）

∴ Tn=1•a1+Kn=1+Kn=（n－）•3n-1+

下面将等差•等比”型数列的求和公式整理叙述如下：

对于数列{an}，an=（n+c）qn-1，其前n项和为Sn，则：

Sn=－

（责任编辑 李 翔）