一节“难”题教学的化“易”过程

摘 要：面对中学数学中一些“难学”、“难教”的内容，如何寻求一种“适切”的教法和学法，达到化“难”为“易”的功效。这要精心设计问题，用“问题引导学习”，采用问题串、变式串来搭建“脚手架”，用设问来启发学生自主探究，逐步形成一种能理解、能探究、能化“难”为“易”的数学思想和心理机制。

关键词：高中数学；化难为易；适合学生；适切教学

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1009-010X（2012）01-0047-03

函数中的“任意性和存在性”是现行高中教材的一个重要概念，也是大学数学中的一个基本词语。与“任意性和存在性”相关的数学命题是近年来高考中的一个热点和难点，经常成为整张试卷最后的压轴问题，学生普遍感觉到困难和恐惧，教师反映难于把握其复习教学。面对这样“难学”、“难教”的内容，如何寻求一种既“适合”学生，又能“摘到”桃子的教学？如何寻求一种好的“教艺”和“学法”，达到 化“难”为“易”的功效。近日，在绍兴市高三复习优质课比赛研修活动中，我们备课组的同事围绕这个话题，一起经历了“磨课”的过程。

第一次上课，教师备课选用了三道高考压轴题作为上课的内容，一是2009年浙江高考试题理科22题，二是2010年浙江绍兴高三教学调测试题理科22题，三是2010年山东高考试题理科22题，并准备把前面的两道题作为例题，后面的一道题做为练习。

上课一开始教师就直接将2009年浙江高考理22题投影显示，并问学生谁会做请发言，课堂上一片寂静，约过了10分钟还是没一个学生说话，教师只得一个一个点名地问，学生却都脸有难色地说不会做，时间一分分又过去了好一会，教师急了，匆忙地详细解答了这个题目，之后剩给例题2的时间不多了，教师有点乱了阵脚，处理就更是草草了事。

课后备课组的同伴围在一起七嘴八舌，有的说太难了，学生反映都说难。有的说太乱了，教师这样讲有点生吞活剥、囫囵吞枣似的。那么到底难在哪里？怎样的教学处理能化“难”为“易”？这节课要达到什么样的教学目标？什么样的教学境界？这节课首先是难在学生“对任意给定的非零实数x1，存在惟一的非零实数x2（x2≠x1），使得q′（x2)=q′（x1）成立？”这样的语言不理解，也不知道用什么思想方法、从哪些思维的角度、怎样去理解这些“陌生的东西”？其次是难在整节课自始至终处处是“惊涛骇浪”，尤其是一开始就是2009浙江22题这样一座“难以攀登的大山”，学生不知道用什么样的问题解决策略、从哪些解题途径、怎样入手去化解这种“大疙瘩”？经过讨论，大家认为这节课的教学目标不仅是要学生掌握函数的任意性和存在性问题，而且要通过这样的问题解决教学过程形成一种能理解“陌生的东西”、解决“大疙瘩”的数学思想和思维方法，形成一种能探究“陌生的东西”、解决“大疙瘩”的心理意识和机制。按照这样的想法，重新进行了教学设计，第2次上课教师利用问题串、变式串在学生最近发展区进行启发探究教学。

引入：请大家回顾集合关系的定义，用自然、符号、图形三种语言描述两个集合的包含关系，并举出2个具体函数的值域来说明。

学生：如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。记作AB（或B A），也说集合A是集合B的子集。用符号语言表达即为若对任意x∈A，都有x∈B，则AB。用文图表示（略）。具体例如f（x）=8x+3，x∈[0，1]，值域A=[3，11]，g（x）=3x2-14x+5，x∈[-1，0]，值域B=[5，22]，AB等。

问题1：已知函数f（x）=2k2x+k，x∈[0，1]，函数g（x）=3x2-2（k2+k+1）x+5，x∈[-1，0]，问k=2时，对任意x1∈[0，1]，是否存在x2∈[-1，0]，使g（x2）=f（x1）成立。

教师：请你画出函数图象，并根据图象之间的关系理解题意，用图象视角作出判断。

学生：从两个图象联系上看，不一定存在。

变式1：当k=6时，对任意x1∈[0，1]，是否存在x2∈[-1，0]，使g（x2）=f（x1）成立

教师：请你画出函数图象，求出值域，并根据值域之间的关系理解题意，用集合关系视角作出判断。

学生：f（x）=8x+2，值域A=[6，78]，g（x）=3x2-14x+5，值域B=[5，94]，AB，所以存在。

变式2:x1∈[0，1]，存在x2∈[-1，0]，使得g（x2）=f（x1）成立，求k的取值范围。

教师：请你画出函数图象，求出值域，并根据图象直观及值域之间的关系理解题意，给出解析。

学生：f（x）=2k2x+k，x∈[0，1]的值域A=[k，2k2x+k]，g（x）=3x2-2（k2+k+1）x+5，x∈[-1，0]的值域B=[5，2k2+2k+10]，“对任意x∈[0，1]，存在x2∈[-1，0]，使得g（x2）=f（x1）成立”，等价于值域AB，既5≤k且2k2+k≤2k2+2k+10，所以5≤k。

变式3：存在x1∈[0，1]，x2∈[-1，0]，使得g（x2）=f（x1）成立，求k的取值范围。

变式4：对任意x1∈[0，1]，x2∈[-1，0]，使得g（x2）＜f（x1）成立，求k的取值范围。

变式5：存在x1∈[0，1]，存在x2∈[-1，0]，使得g（x2）＜f（x1）成立，求k的取值范围。

教师：请你尝试独立解析上述问题，并进行反思总结。

学生：（3）中的“存在x1∈[0，1]，x2∈[-1，0]，使得g（x2）＜f（x1）成立”，等价于g（x）的值域与f（x）的值域的交集非空。

（4）中的“对任意x1∈[0，1]，x2∈[-1，0]，使得g（x2）＜f（x1）成立”，等价于gmin（x）＜fmin（x）。

（5）中的“存在x1∈[0，1]，存在x2∈[-1，0]，使得g（x2）＜f（x1）成立”，等价于f（x）min＞g（x）min。

学生：对函数中的存在性和任意性问题，相等关系转化为函数值域之间的关系，不等关系转化为函数的最值大小。

问题2：2009浙江高考试题理科22题，已知函数f（x）=x3-（k2-k+1）x2+5x-2，g（x）=k2x2+kx+1，其中k∈R。

（II）设函数q（x）=g（x），x≥0f（x），x＜0是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在惟一的非零实数x2（x2≠x1），使得q′（x2）=q′（x1）成立？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由。

教师：面对“陌生的东西”，（习惯上应养成）该“先做些什么”？

学生：画出q′（x）的图象，看看题意的几何意义，数形结合起来理解题目意思。

学生：看看是否能转化为“熟悉的东西”，化归于“已经解决的东西”。

教师：这个问题与前面的“问题1”有什么联系。

学生：分段函数q′（x）的两个部分就是问题1中的两个函数，不同的是一个是两个函数之间的关系，一个是一个函数的两个部分之间的关系。

学生：分段函数q′（x）的两个部分可以相对看成“两个函数”，“存在惟一”等价于“单调性”

学生：具体解析，当x＜0时有q′（x）=f′（x）=3x2-2（k2-k+1）x+5，

当x＞0时有q′（x）=g′（x）=2k2x+k，因为当k=0时不合题意，因此k≠0，

下面讨论k≠0的情形，记A=（k，+∞），B=（5，+∞）

（ⅰ）当x1＞0时，q′（x）在（0，+∞）上单调递增，所以要使q′（x2）=q′（x1）成立，只能x2＜0且AB，因此有k≥5，

（ⅱ）当x1＜0时，q′（x）在（0，+∞）上单调递减，所以要使q′（x2）=q′（x1）成立，只能x2＞0且AB，因此k≤5，综合（ⅰ）（ⅱ）k=5。

当k=5时A=B，则 x1＜0，q′（x1）∈B=A即 x2＞0使得q′（x2）=q′（x1）成立，因为q′（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x2的值是唯一的，

同理 x1＜0，即存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），要使q′（x2）=q′（x1）成立，所以k=5满足题意。

教师：请大家再回顾反思总结，有什么经验规律总结？有什么东西可以升华？

学生：这类问题除了与前面所说把问题转化为值域之间的关系之外，还要求考虑单调性，即由单调性得出存在惟一。解题时，可以先画出分段函数q′（x）的图象，结合图象去理解“对任意给定的非零实数x1，存在惟一的非零实数x2（x2≠x1），使得q′（x2）=q′（x1）成立”的意思，用函数的思想、数形结合的方法，去分析转化，问题常会迎刃而解。事实上，因为当x＜0时有q′（x）=f′（x）=3x2-2（k2-k+1）x+5是单调递减，当x＞0时有q′（x）=g′（x）=2k2x+k，单调递增，图象直观明了。

变式1：2010年浙江绍兴高三教学调测试题理科22题，已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-21nx，g（x）=xe1-x，a∈R

（III）若对任意给定的x0∈[0，e]，在[0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi)=g（x0）成立，求a的取值范围。

教师：请大家想一想、做一做，对“任意给定、存在两个”怎么办？

学生：同样的，这类问题除了与前面所说把问题转化为值域之间的关系之外，还要考虑满足“存在两个”，借助图象去理解就一目了然了，并很快画出了草图来说明之，解析略。

课结束了，大家喜笑颜开，为课的成功而高兴。课堂从“差”变“好”、问题由“难”变“易”，成功的背后有些什么东西值得总结？这些东西又是否具有规律性和普遍性？成了备课组同伴一起讨论的话题。

要化“难”为“易”，就要退回到最“适合”学生的地方进行教学，就要充分地去理解学生，解决“教给谁”的问题。要了解学生已经有的经验和认知，要了解学生在“这个问题上”已经“知道了什么”，在将要学习的内容中，可能遇到的思维障碍是什么，以及对于“这个问题”是如何展开“思考”的。这节课表面上是学生对题目中语句的不懂和综合题难解，其本质上是学生面对“陌生的东西”、“难以攀登的大山”，缺少去理解、去解决的思想方法和心理机制。

要化“难”为“易”，就要退回到学生思维的“最近发展区”进行教学，就要充分地去理解教学，解决教学“途径”的问题。理解教学过程是以数学知识发生发展过程为载体的学生认知过程，讨论怎么教，才能让学生“跳一跳摘到桃子”，才能使学生获得最大的学习效益。理解“教师之为教，不在全盘授予，而在相机引导”。只有这样才是有的放矢，事半功倍，反之，教师采取简单粗暴的判断方式和拼体力的详细讲解的做法，都可能因未理解学生数学意义建构的经验基础而事倍功半，甚或徒劳无益。第二次教学设计中，根据学生实际，把2009浙江22题这样一座“难以攀登的大山”进行了“解体”、“退化”，设计了一系列问题串、变式串，并注重了它的问题性、指向性、适切性、探究性和有效性，比较好地突破了教学的难点。这节课中的问题1及其变式其实是问题2的“退化”，是根据问题2中的函数q′（x）编制而来的。

要化“难”为“易”，就要退回到最核心的数学概念、最核心的数学思想进行教学，就要充分地去理解数学，解决内容“是什么”的问题，弄清内容所反映的核心概念和核心思想。

要让学生养成从数学核心概念、数学核心思想出发进行思考问题、解决问题的习惯，要让学生体会到解题的灵活性来源于概念的实质性联系，体会到“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧。技巧不足道也！”，技巧是不可靠的，要让学生强化概念的联系性，从概念的联系中寻找解决问题的新思路。这节课的内容所蕴函的核心思想是集合思想、函数思想、数形结合思想及它们之间的联系，因此，第二次上课退到了集合、函数、图象、数形结合这些最基本的东西上，强化了它们的相互联系和转化关系的教学。

要化“难”为“易”，就要退回到最“适切”的教学设计，就要在充分理解学生、理解数学、理解教学的基础上，做出教学问题诊断，明确内容和内容解析、目标和目标解析，精心设计问题，采用“问题引导学习”的教学，采用问题串、变式串来搭建“脚手架”。这节课的内容“标高”是2009浙江高考试题理科22题，它像座“无限风光的险峰”，直接难以登上，围绕着它设置了问题1及其4个变式来搭建学生得以攀爬的“支架”，使学生一步一个台阶，循序渐进、节节攀登，使课堂真正回归到数学知识生成、学生思维发生的“原生态”。这样的设计，自然顺畅，层层递进，使学生在一步步减缓难度的情况下，使意义建构在经验基础之上。

要化“难”为“易”，就要退回到“适切”的教学方法，就是要根据学生实际调整设问，用小步设问控制难度、启发诱导。就是要教师采用设问导向，注意“先行组织者”的使用，注意在研究方法上多给指导，给学生提供类比的对象和方法，让学生自己提问、自己发现、自己探究。并在过程中逐步加大开放探究力度，逐步培养自主探究的习惯，逐步形成一种能理解、会探究“陌生的东西”的数学思想和心理机制。这节课教师采用在引入中“回顾描述”“例举说明”，在问题1中“用图象视角判断”，在变式1中“集合视角判断”，在变式2、3、4中“请你尝试”、“总结规律”，在问题2中的“数形结合起来理解”、“转化为熟悉的东西”、“请大家再回顾反思，有什么经验规律总结？有什么东西可以升华？”在问题3中的“请大家想一想、做一做”等具体设问中进行启发，一环扣一环、一步进一步，引导学生在一个逐步开放的空间里自主地探究，在“做”中真正学会如何解决问题。

参考文献：

［1］章建跃.中学数学课改的十个论题［Ｊ］.中学数学教学参考（高中），2010，（3）.

［2］刘智强.用“情境问题串”引导数学课堂教学［Ｊ］.教育实践与研究（中学版），2008，（2）.