探索以(Fn-k,Fn,Fn)为边长的Fibonacci三角形

郝 锋

(江苏大学理学院,江苏镇江 212013)

探索以(Fn-k,Fn,Fn)为边长的Fibonacci三角形

郝 锋

(江苏大学理学院,江苏镇江 212013)

Fibonacci三角形是边长为Fibonacci数、面积为整数的三角形.存在以(Fn-k,Fn,Fn)为边长的Fibonacci三角形的情形可以被划分为三类(k＜n),利用平方剩余的方法可以证明：k=2t+2时,不存在边长为(Fn-k,Fn,Fn)的Fibonacci三角形.

Fibonacci数;Lucas数;Fibonacci三角形

Fibonacci数列{Fn}为F0=0,F1=1,Fn+2=Fn+1+Fn.与之关系密切的Lucas数列{Ln}为L0= 2,L1=1,Ln+2=Ln+1+Ln.可以利用其通项公式引入负指标F-n=(-1)n-1Fn,L-n=(-1)nLn,仍满足上述递推关系[6].

边长为Fibonacci数、面积为整数的三角形,称之为Fibonacci三角形.目前已知[1-7]：当k≤7, k=2t·3或n≤11117时不存在边长为(Fn-k,Fn,Fn)的Fibonacci三角形.本文将存在以(Fn-k,Fn,Fn)为边长的Fibonacci三角形的情形划分为三类(k＜n),并证明：k=2t+2时,不存在边长为(Fn-k,Fn,Fn)的Fibonacci三角形.本文中字母未特别说明的都为正整数,X2表示某一完全平方数.

1 预备知识

引理1 2Fm+n=FmLn+FnLm, L2n-5F2n=4(-1)n,L2n=L2n+2(-1)n-1;

特别地,

引理2 Fm+n=FmFn+1+Fm-1Fn,(Fm,Fn)=F(m,n).

引理3 L2t≡-1(mod4),-1是L2t的平方非剩余;

L2t+1≡-1(mod8),-2是L2t+1的平方非剩余[7].

引理4 当q≡1(mod6)时,Lq≡1(mod4);当q≡-1,±2(mod6)时,Lq≡-1(mod4);当q≡0(mod6)时,Lq≡2(mod4);当q≡3(mod6)时,Lq≡0(mod4).

证容易验证：Lq≡Lq+6(mod4).

引理5 当3q时,Fm+2pq≡(-1)p(q-1)Fm(modLq).特别地,当3q时,

当q≡-1(mod6)时,Fm+2pq≡Fm(modLq).

当p=4时,T=6;当p=8时,T=12;当p=3时,T=8,p的平方非剩余2(modp);当p=9时, T=24,p的平方非剩余2,3,5,6,8(modp);当p=7时,T=16,p的平方非剩余3,5,6(modp);当p=23时,T=48,p的平方非剩余5,7,10,11,14,15,17,19,20,21,22(modp);当p=11时,T=10 ,p的平方非剩余2,6,7,8,10(modp);当p=5时,T=20,p的平方非剩余2,3(modp);…;当p= L2t(t≥2),T=2t+2,-1和-2(modp)是平方非剩余;当p=ft时,T=2t+3·3,-1和-2(modp)是平方非剩余.

2 主要结果

如果存在以(Fn-k,Fn,Fn)为边长的Fibonacci三角形(k＜n),容易得到Fn-k为偶数(3|n-k),底边上的高h为整数;记

考虑(mod4),F3m/d必为偶数.于是F3m/(2d)为整数,(F3m+k/d,F3m/(2d))=1.对(F3m+k/d)2= (F3m/(2d))2+(h/d)2应用商高定理,存在一奇一偶的正整数a和b,(a,b)=1,F3m+k/d=a2+b2,于是F3m+k/d≡1(mod4),F3m+k≡d(mod4)[7].

若m为奇数,记m=4i±1,F3m=F12i±3≡2(mod4),F3m/2为奇数;F3m/(2d)为整数,d =F(12i±3,k)必为奇数,3(12i±3,k),3k;F3m/(2d)为奇数,于是存在一奇一偶的a和b使得F3m+k/d=a2+b2,F3m/(2d)=a2-b2,即F3m+k/d±F3m/(2d)=2a2和2b2;d为奇数,F3m+k± F3m/2=2da2和2db2,正好是2的倍数和8的倍数,F3m+k-F3m/2≡4(mod8)是不成立的.

当k≡8,10,11(mod12),3m=12i-3时,

故可能的情形为k≡2,4,5(mod12),3m=12i-3,或k≡8,10,11(mod12),3m=12i+3.

①当k≡2,4,5(mod12)时,2F12i-3+k/d±F12i-3/d=X2,其中d=F(12i-3,k);当k≡8,10,11 (mod12)时,2F12i+3+k/d±F12i+3/d=X2,其中d=F(12i+3,k);

②F6i+k≡d(mod4),F6i+k/d±F6i/(2d)=X2,其中d=F(6i,k),3k;若m为偶数,3|k,但6k.

i)记m=4i-2,F3m+k=F12i-6+k≡2(mod4),d=F(12i-6,k),d/2为奇数;F3m/8=F12i-6/8为奇数,F3m/(4d)为奇数.于是存在一奇一偶的a和b,使得F3m/(2d)=2ab,F3m/(4d)=ab为偶数,矛盾;

ii)记m=4i,F3m+k=F12i+k≡2(mod4),d=F(6i,k),d/2为奇数;F3m=F12i≡0(mod16), F3m/(4d)为偶数.于是F3m+k/d=a2+b2,F3m/(2d)=2ab,即F12i+k/d±F12i/(2d)=(a+b)2和(a-b)2.于是,当3|k,6k时,存在以(F3m,F3m+k,F3m+k)为边长的Fibonacci三角形必为如下情形：

③F12i+k/d±F12i/(2d)=X2,其中d=F(12i,k),3|k、6k.

若m为偶数,6|k,记k=2t·3p,m=2sq,3m=2s·3q,其中p和q是奇数.

i)若s≤t,d=F(3m,k)=F2s·3(q,p),F3m/2s+2为奇数,d/2s+2为奇数,故F3m/d为奇数,与F3m/d为偶数矛盾;

ii)若s=t+1,则d=F(3m,k)=F2t·3(q,p),F3m/2s+2=F3m/2t+3为奇数,d/2t+2为奇数,故F3m/(2d)为奇数.于是F3m+k/d=a2+b2,F3m/(2d)=a2-b2,即2F3m+k/d±F3m/d=4a2和4b2;

iii)若s=t+2,则d=F(3m,k)=F2t·3(q,p),F3m/2s+2=F3m/2t+4为奇数,d/2t+2为奇数,故F3m/(4d)为奇数.于是存在一奇一偶的a和b,使得F3m/(2d)=2ab,F3m/(4d)=ab为偶数,矛盾;

iv)若s＞t+2,则d=F(3m,k)=F2t·3(q,p),F3m/2s+2为奇数,d/2t+2为奇数,故F3m/(2s-td)为奇数,F3m/(4d)为偶数.于是F3m+k/d=a2+b2,F3m/(2d)=2ab,即F3m+k/d±F3m/(2d)=(a+b)2和(a-b)2.从而当6|k时,存在以(F3m,F3m+k,F3m+k)为边长的Fibonacci三角形必为如下情形：

④s-t=1时,2F2s·3q+2t·3p/d±F2s·3q/d=X2,其中p和q是奇数,d=F2t·3(p,q);

⑤s-t＞2时,F2s·3q+2t·3p/d±F2s·3q/(2d)=X2,其中p和q是奇数,d=F2t·3(p,q).

是否存在以(F3m,F3m+k,F3m+k)为边长的Fibonacci三角形需要排除上述三种情况(5种情形)的可能性,可以考虑不断地选取合适的p用平方非剩余(modp)来排除,合适的选取次序为p=4;3,9;7, 23;5,11;….特别要注意p=L2t+1或ft.

定理当k=2t+2时,不存在以(F3m,F3m+k,F3m+k)为边长的Fibonacci三角形.

证k=2t+2时,

情形① d=F(12i±3,k)=F1=1,当t为奇数时,k≡8(mod24),2F12i+3+k±F12i+3=X2;当t为偶数时,k≡-8(mod24),2F12i-3+k±F12i-3=X2;

情形② F6i+k/d±F6i/(2d)=X2,其中d=F(6i,k)=F2(i,k/2)=F2,F4,…,Fk.

①i)当t为奇数时,8|k,2F12i+3+k±F12i+3不全是平方剩余,2F24j+3+k-F24j+3≡2F3-F3≡2(mod3);k=8(t=1)时,

②记i=2u-1j(j为奇数),6i=2u3j,则4dF6i+k±2dF6i=4d2X2,其中d=F(6i,k)=F(2u,2t+2);

i)当t为奇数时,k≡8(mod24).若d=F22s,d≡F4≡3(mod4),但F6i+k≡Fk≡F2≡1(mod4),与F6i+k≡d(mod4)矛盾;若d=F2=1,u=1,i=j,4F6j+k±2F6j=4X2,但4F6j+k±2F6j不全是平方剩余,

ii)当t为偶数时,k≡-8(mod24).若d=F22s-1,d≡F2≡1(mod4),但F6i+k≡Fk≡F4≡3(mod4),与F6i+k≡d(mod4)矛盾;综上所述,u≥2.

由于u≤t+1,F2u|Fn/2,故

由于Fk|F2t+v,故(Fk,L2t+v)=1,4h2=4F2n-F2n-k≡4F20-F2-k≡-F2k(modL2t+v).-1和-F2k是L2t+v的平方非剩余,矛盾;当t+2＜u时,t+2≤u-1,Fk|F2u-1.由于(F2u-1,L2u-1)=1,故(Fk,L2u-1)=1,

-1和-4F2k是L2u-1的平方非剩余,矛盾.

3 后 记

目前已解决了k=2t·3或2t+2时的情形,对于k＜24的其它情形可以按照k的三种情形分别解决,有关结果另文发表;对于k较大的其它情形有待于继续研究.

[1] Harborth H,Kemnitz A.Fibonacci triangles[M].Kluwer Acad.Publ.,1990：129-132.

[3] Harborth H,Kemnitz A,Robbins N.Non-existence of Fibonacci triangles[J].Congr.Numer.,1995,114,29-31.

[3] 牟善志,刘华.Fibonacci三角形[J].数学的实践与认识,2005(2)：149-151.

[4] 何波,吴文权.关于Fibonacci三角形猜想k=6的证明[J].大学数学,2007,23(5)：160-162.

[5] 林丽娟.关于Fibonacci三角形猜想k=7的证明[J].重庆工商大学学报(自然科学版),2007,24(5)：439-441.

[6] 柯召,孙琦.谈谈不定方程[M].上海：上海教育出版社,1980：73-79.

[7] 郝锋.k=2t·3时不存在边长为(Fn-k,Fn,Fn)的Fibonacci三角形[J].大学数学,2011,27(1)：45-47.

Research Fibonacci Triangles with Side Lengths(Fn-k,Fn,Fn)

HAO Feng
(Faculty of science,Jiangsu University,Zhenjiang,Jiangsu 212013,China)

A triangles with side lengths of Fibonacci numbers and integral area are called Fibonacci Triangles.The existence of Fibonacci triangles with side lengths(Fn-k,Fn,Fn)can be partitioned three cases and non-existence of Fibonacci triangles(Fn-k,Fn,Fn)ofk=2t+2is proved with the method of quadrate residue(k＜n).

Fibonacci numbers;Lucas numbers;Fibonacci triangles

O156.1

A

1672-1454(2011)03-0106-04

2008-04-30