2n+2阶完美幻方的二进制构造法及其计数

曹小琴

(金华教育学院数学系,浙江金华 321000)

2n+2阶完美幻方的二进制构造法及其计数

曹小琴

(金华教育学院数学系,浙江金华 321000)

利用二进制构造出2n+2阶和谐方,由此给出一类“0～22n+4-1”域上的2n+2阶完美幻方,这类幻方共有26n+4×(2n+4)!个.

完美幻方;构造法;和谐方

完美幻方,也叫泛对角线幻方,或叫纯幻方,是指n阶数字方阵,它的各行(列)和、各泛对角线和均相等.

二进制是非常奇妙的,它在幻方中的应用更是独特.文[1]利用二进制构造了4阶泛对角线幻方的统一公式,文[2],[3]分别给出了4n阶幻方的一种构造法.本文利用二进制的特点构造一类2n+2阶(n为非负整数)完美幻方,数量极其丰富,共有26n+4×(2n+4)!个.如这类8阶完美幻方共有210×6! =737280个.当n=0时此构造法(定理1)得到所有4阶完美幻方.

为讨论方便,定义几个概念.记

i=1,2,3,4,ei每位元素加1(mod 2)的方阵(称为模2加1方阵)记为.记

ei和Bi,B′i,B″i均具有相同的特点.

定义1 若由“0,1”两元素组成的2n+2阶方阵满足：各行(列)、各泛对角线的4×2n+2组数中,每一组均有相同个数的0和1,把这类(0,1)方阵,简称2n+2阶和谐方.

显然,若一方阵是和谐方,那么它的模2加1方阵也是和谐方.i=1,2,3,4,ei和Bi,B′i,B″i(及它们的模2加1方阵)分别为4阶和8阶和谐方.

定义2 若一完美幻方已转化为二进制,则称此完美幻方为二进制下的完美幻方.

任一0～22n+4-1的自然数均可表示成2n+4位二进制数,此域上的任一2n+2阶二进制下的完美幻方满足：各行(列)、各泛对角线的4×2n+2组数中,每组中每位均有2n+1个0和2n+1个1(因为幻和等于2n+1(22n+4-1)=2n+1(1+21+22+…+22n+3)).反之亦然.如各元素按顺序B3,B4,,,B″3, B′3结合成的8阶方阵为二进制下的完美幻方.

定义3 n×n方阵,我们把左上(右上)右下(左下)的主(次)对角线称为主(次)0对角线,往下的各折对角线依次称为主(次)1,主(次)2,…,主(次)n-1对角线.

1 2n+2阶和谐方的构造

大括号内共有2j大组,2n行,A的转置方阵记为B(j=1,2,…,n;i=1,2,3,4).

引理1,(j=1,2,…,n;i=1,2,3,4)及它们的模2加1方阵均为和谐方.

证先证A(j=1,2,…,n)为2n+2阶和谐方.

(i)主4k[主4k+1;主4k+2;主4k+3](k=0,1,2,…,2n-1)对角线上有2n-1组(1,0,0,1) [(0,1,1;0);(1,0;0,1);(0;1,1,0)]和2n-1组(0,1,1,0)[(1,0,0;1);(0,1;1,0);(1;0,0,1)],从而有2n+1个0和2n+1个1.

(ii)各次对角线从右上至左下的数与各主对角线从左上至右下的数的排列分别完全相同,从而也有相同个数的0和1.

2 2n+2阶完美幻方的构造

引理2 由e1,e2,e3,e4或任取其中i(0≤i≤4)个,其余4-i个方阵取模2加1,把它们按任意顺序结合成的4阶方阵D,16个元素互不相同,且为0000～1111.

证(i)e1,e2,e3,e4及它们的模2加1方阵均为4阶和谐方.

(ii)D的各行(列)、各泛对角线的4个数,每位均有两个0和两个1.

(iii)D的16个元素一定互不相同.若不然,假设有两元素相同,(共有6种可能：1100;1010;1001; 0110;0101;0011.)不妨设1010,1010(其余5种情况同理可证),它们一定出现在16组数的某一组中,不妨设第1行,由(ii)可知,其余两数必为0101和0101,分解后的4个和谐方第1行为(1,1,0,0), (0,0,1,1),(1,1,0,0),(0,0,1,1),显然它们不是由“e1,e2,e3,e4或任取其中i个,其余4-i个方阵取模2加1”得到的,因而这16个数两两不同.显然最小和最大数分别为0000和1111.

引理3 i=1,2,3,4,,,…,中各任取一个;,,…,中各任取一个.在这2n个和谐方中任取t(0≤t≤2n)个,其余2n-t个方阵取模2加1,按任意顺序结合得到的2n阶方阵各元素均不同.

证由(j=1,2,…,n;i=1,2,3,4)的构造可知,2n阶方阵A及它的模2加1方阵左右两半元素不同;及它的模2加1方阵把左右两半各等分为不同的两半,…,因而(i)(AA),(A), (A),()(i,u=1,2,3,4)均分为不同的4个大列;…;(AA…A)2n列的元素各不相同(考虑顺序).(ii)同理,它们的转置方阵2n行的元素各不相同.则(AA…ABB…B)(或其中若干个方阵取模2加1,或按其它顺序排列)(i,u,l,i′,u′,l′=1,2,3,4)组成的2n阶方阵中的各元素(考虑顺序)一定不同.因为：某行任取一元素,某列任取一元素,若这两元素在同一行(列),由(i)((ii))可知,这两元素的2n位上B(A)对应位的元全同,A(B)对应位的元不全同,因而这两元素不同;若这两元素既不在同一行又不在同一列,A,B对应位的元都不全同,因而这两元素也不同.

定理1 A,A,…,A中各任取一个;B,B,…,B中各任取一个.在这2n个和谐方及C1～ C4中任取s(0≤s≤2n+4)个,其余2n+4-s个方阵取模2加1,把它们按任意顺序结合成的2n+2阶方阵F(把ei数值代入)为二进制下的2n+2阶完美幻方,对应于十进制为“0～22n+4-1”域上的完美幻方,此类幻方共有26n+4×(2n+4)!个.

证(i)A,,…,(i=1,2,3,4)中各任取一个,B,B,…,B中各任取一个;在这2n个和谐方及C1～C4中任取s(0≤s≤2n+4)个,其余2n+4-s个方阵取模2加1;把它们按任意顺序结合成的2n+2阶方阵为F.

(ii)由引理2,3可知组成的2n+2阶方阵F中各元素均不同,最小数为00…0,最大为11…1(2n+4位数),对应于十进制为0～22n+4-1.

F为2n+2阶完美幻方.因为F中各行(列)、各泛对角线的2n+2个数(每一数均为2n+4位二进制数)中,每位均有2n+1个0和2n+1个1,因而F中各行(列)和、各泛对角线和均等于2n+1(1+2+22+…+22n+3)=2n+1×(22n+4-1).

(iii)相同和谐方任意两种不同排法得到的两个完美幻方一定不同;不同和谐方的任意两排列得到的两完美幻方也不同.若得到两个相同的完美幻方,则二进制下的两个完美幻方也相同,因而分解后的和谐方为同一组的相同排列,矛盾.

注 当n=0此构造法得到所有4阶完美幻方(16×4!=384个).

3 n=2的一个实例

分别把e1,¯e1,e2,¯e2,e3,¯e3,e4的4阶和谐方代入上式,得到二进制下的16阶完美幻方,转化为十进制即得“0～255”上的16阶完美幻方G：

[1] 潘凤雏.构造所有4阶泛对角线幻方的统一公式[J].大学数学,2005,21(3)：74-76.

[2] 曹小琴.4n阶完美幻方的新构造法[J].宁夏大学学报,2001,22(1)：11-14.

[3] 俞万禧.一种4n阶幻方构造方法的论证[J].数学的实践与认识,2004,34(2)：85-89.

Binary Constructing Method of Perfect Magic Square of 2n+2Orders&Its Counting

Cao Xiao-qin
(Mathamatic Department of Jinhua Institute of Education,Jinhua,Zhejiang 321000,China)

In this article the author constructs abalance square of 2n+2orders by using binary cell and from this a kind of perfect magic squares of 2n+2orders are created on the field of“0～22n+4-1”.The total number of the magic square is 26n+4×(2n+4)!.

perfect magic square;constructing method;balance square

O157

A

1672-1454(2011)03-0098-04

2008-08-11;[修改日期]2008-12-04