一类随机算子随机不动点的迭代序列收敛性

赵巧玲, 王 锋

(1.商丘师范学院数学系,河南商丘 476000; 2.安阳工学院数理学院,河南安阳 455000)

一类随机算子随机不动点的迭代序列收敛性

赵巧玲1, 王 锋2

(1.商丘师范学院数学系,河南商丘 476000; 2.安阳工学院数理学院,河南安阳 455000)

利用非对称迭代技巧,讨论了一类不具有紧性条件的随机算子的随机不动点的存在唯一性,并给出了迭代序列收敛于解的误差估计,所得结果是某些已知结果本质改进和推广.

随机增算子;随机不动点;正规锥

1 引 言

设(Ω,F,P)是一个完备的概率空间,E是可分的Banach空间或Polish空间(即可分完备度量空间),E是E上的Borel代数,(E,E)为可测空间,x(ω):Ω→E为可测向量函数(随机变量),如果∀B∈E, x-1(B)={ω∈Ω|x(ω)∈B}∈F.设D是E的子集,回顾下列概念.

(i)算子A:Ω×D→E称为随机连续算子,是指任意给定x∈D,A(·,x):Ω→E是可测的,而任意给定ω∈Ω,A(ω,·):D→E对x连续;

(ii)算子A:Ω×D→E称为随机增算子,是指任意给定x∈D,A(·,x):Ω→E是可测的,而任意给定ω∈Ω,A(ω,·):D→E是依E中半序≤对x是单调增算子,即若x,y∈D,x≤y⇒∀ω∈Ω,A(ω,x)≤A(ω,y);

(iii)随机算子A(ω,x):Ω×D→E,若存在随机变量x(ω):Ω→E使得∀ω∈Ω,A(ω,x(ω))=x(ω),则称x(ω)为A(ω,x)的随机不动点.

引理设E是可分的Banach空间,(E,E)是可测空间,A:Ω×D→E是随机连续算子,则对任意的随机变量x(ω):Ω→E,A(ω,x(ω))也是可测的[1].

2 随机算子的随机不动点问题

设E是实Banach空间,非空闭凸集P⊂E称为E中的锥,如果

(i)x∈p,λ≥0⇒λx∈P;(ii)x∈P,-x∈P⇒x=θ.

由P定义半序≤:即∀x,y∈E,y-x∈P,则x≤y;P称为正规锥,如果存在N＞0,使得θ≤x≤y⇒‖x‖≤N‖y‖.

设u0,v0∈E,u0＜v0(即u0≤v0,u0≠v0),称D=[u0,v0]={u∈E|u0≤u≤v0}为E中的序区间.

定理设P是实Banach空间E中的正规锥,A:Ω×D→E是随机连续算子.若存在正有界线性算子L:E→E,算子的谱半径0＜r(L)＜1,且存在Ω上的可测函数α(ω),b(ω)∈[0,1),b(ω)＜α(ω)+r(L)＜1,使得算子A满足下列条件:

(i)∀ω∈Ω,b(ω)(v-u)≤A(w,v)-A(ω,u),u0≤u≤v≤v0;

(ii)∀ω∈Ω,A(ω,v)-A(ω,u)≤L(v-u),u0≤u≤v≤v0;

(iii)u0+α(ω)(v0-u0)≤A(ω,u0),A(ω,v0)≤v0,

则算子A(ω,x)在D中有唯一的随机不动点x＊(ω),且有误差估计:∀ω∈Ω,

从而有A(ω,x＊(ω))=x＊(ω).最后在(3),(4)式中令m→∞便得到误差估计式(1).

注 在本定理中,通过构造随机增算子B,把随机非单调算子归结到随机增算子来讨论,给出了相应的随机不动点定理.拓宽了文献[3]的适应范围.

推论1 在上述定理中将条件(iii)换成u0≤A(ω,u0),A(ω,v0)≤v0,∀ω∈Ω,则定理仍然成立且

事实上,在定理中令a(ω)=0即可.

推论2 在上述定理中将条件(iii)换成

其中K,M:E→E是正有界增算子,且0＜r(K+M+L)-b(ω)＜1,则定理仍然成立,此时且有误差估计为

[1] Sharpe M.General Theory of Markov Processes[M].London：Academic Press,INC：1988.

[2] Dellacherie C.Capacitiés et Processus Stochastique[M].Berlin：Springer-Verlag：1972.

[3] 李国祯.随机单调算子的随机不动点定理[J].江西师范大学学报,2004,41(2)：136-142.

[4] 盛海波.增算子新的不动点定理及其应用[J].华东交通大学学报,2004,21(1)：114-116.

[5] 王梓坤.随机泛函分析引论[J].数学进展,1962,5(1)：45-71.

[6] Taylor A E and Lay D C.Introduction of Functional Analysis[M].New York：Springer-Verlay,1980：277-281.

[7] 朱传喜.关于随机算子方程的随机解[J].数学进展,1997,26(5)：429-434.

The Convergence of Iteration Sequences of Random Fixed Point of Random Operator

Z HAO Qiao-ling1, WA N G Feng2
(1.Department of Mathematics,Shangqiu Teachers College,Shangqiu,Henan 476000,China; 2.Department of Mathematics,Anyang Institute of Technology,Anyang,Henan,455000,China)

By using non-symmetry Mann iterative technique,the existence and uniqueness of random fixed point of a kind of random operator are studied without compactness conditions.And the iteration sequences which converge to solution of operator equations and the error estimates are also given.The results presented here improve and generalize some corresponding results.

random increasing operator;random fixed point;nomal cone

O211.5

A

1672-1454(2011)03-0083-04

2008-08-04;[修改日期]2008-11-28

河南省教育厅自然科学研究项目(2010B110019)