面积与代数恒等式

吴文献

教学背景

《面积与代数恒等式》是义务教育课程标准实验教科书《数学》（华东师大版）八年级上册第14章《整式的乘法》后面安排的课题学习。学生已经知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式，也从几何图形的面积关系中认识了一些代数恒等式。他们以前参加过用硬纸片设计包装盒、设计旋转对称图形等话动。课前要求学生用硬纸片尽可能多地制作边长为a的大正方形、边长为b的小正方形和长为a、宽为b的长方形。

教学目标

1.探索如何从一些几何图形面积的不同表示法得出代数恒等式，来说明某些幂的运算性质和乘法法则的正确性以及一些代数恒等式的正确性，体会代数与图形之间的联系，初步体会数形结合的数学思想方法。

2.体会数学的应用价值，发展自己的数学思维能力.获得一些研究问题、解决问题的经验和方法;体验战胜困难和获得成功的喜悦：体会探究与合作的重要性，增强应用数学的意识，培养团结协作的精神，形成良好的个性品质。

课堂实录

一、导入。

师：今天我们进行课题学习《面积与代数恒等式》（板书），从标题可知，本节课将探索如何从图形面积的不同表示法中得到代数恒等式（代数恒等式的概念在前面的教学中已提及）以及如何用拼图的方法来说明代数恒等式的正确性。这节课我们将利用课前准备好的硬纸片来研究图形面积与代数恒等式的关系。

二、创设情景，提出问题。

师：下面大家先思考几个问题（在白磁板上展示事先设计好豹问题）。

问题1：从你们所在小组6张课桌排列成的长方形中，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式。（课桌排列如图：）

学生思考了一会儿，教师观察到一部分同学有点困惑，适时提示：我们可以设每张课桌椅的长为a.宽为b.则6张课桌排列成的长方形的面积如何表示？

这时，学生的思路顿开，纷纷举手。

生1：设6張课桌排列成的长方形的长为2a，宽为3b，则面积为2a· 3b。

生2：因为每张课桌的面积为ab.所以6张课桌排列成的长方形的面积为6ab。

师：回答得很好。刚才得到的两个代数式2a -3b与6ab都表示同一个图形的面积，它们有什么关系呢？

学生（齐声）：相等。

师：由此我们从6张课桌面积的不同表示法中得出一个代数恒等式：2a·3h=6ah（画图板书），它验证了什么法则呢？

学生（齐声）：单项式乘以单项式的法则。

教师走到铝合金窗旁，提出第二个问题。

问题2：设铝台金窗的长为a。宽为b，推开铝合金窗一部分，设推开的距离为c.根据剩下的铝合金窗的面积不同表示方法写出一个代数恒等式。

学生思考了一会儿，有同学举手回答。

生：剩下的铝合金窗可以看作长为a.宽为（b-c）的长方形，所以面积为a （b-c），也可以看作是原来的面积减去推开部分的面积，就是ab-ac。所以可以得到一个代数恒等式a（b-c） =ab-ac。

教室里不由自主地响起一片掌声。

师：从掌声中可以说明她回答得非常好，值得我们学习。上面的过程又验证了什么法则呢？

学生（齐声）：单项式乘以多项式法则。

师：刚才我们提出的两个问题都是我们身边所熟悉的，体能否列举出日常生活中类似的例子.从中写出一些代数恒等式（问题3）？

学生陷入深思，没有人举手，过了一会儿，我适时引导：可以仔细观察我们的教室周围，或者思考我们所熟悉的一些建筑。

片刻，有学生举手回答。

生1：我们教室的玻璃窗（如图：），设每扇的长为a.宽为b，则四扇玻璃窗组成的图形可看作走长为2a，宽为2b的长方形，它的面积为2a-2b.也可以看作是四扇玻璃窗面积的和，即4ab，所以可以得到一个代数恒等武2a·2b=4ab。

生2：我们教室的铝合金窗（如图：）设下面的矩形长为b，宽为a，上面的矩形宽为c.则它的面积可以表示为b（a+c），也可以表示为ab+bc，所以可得代数恒等或：b（a+c）=ab+bc。

教师用目光巡税一下，发现没有其他学生举手。

师：刚才两住同学回答得很好，说明同学们平时有较强的问题意识争应用数学的意识，我们用掌声表示赞赏（师生鼓掌）。课后我们再继续探索这个问题，好吗？

学生（一起回答）：好！

三、组织掌生活动。

活动一

摔：课前我们每个同学都准备了三种不同形状的硬纸片（出示）.请利用这些硬纸片拼成一些长方形或正方形，利用所拼成的图形面积的不同表示方法写出一些代数恒等式来。要求每位同学都至少要拼一十图形并写出相应的代数恒等式，再把各自的成果在小组内交流。如果拼成的图形自己写不出代数恒等式，可由小组讨论解决，也可以请教老师。

学生在活动过程中，教师来回巡视指导。每个学生参与的积极性都很高，各小组活动都很有序。如，第四小组同学把各自的成果介绍给其他成员;有一个同学利用多项式乘以多项式法则进行验证，结果是正确的，这位同学露出满意的笑容，教师让他写在磁性板上.再拿到台上展示;第八小组中有一个同学拼出的图形（如右图l），自己只能写出一个面积表示法，正在问听课老师另一种表示式;还有几个小组正在组间交流……可以说每个同学都真正动了起来，不同的学生拼出不同的图形，即使基础较差的同学也可以用一张长方形与一张正方形或四张正方形等拼成简单的图形，井写出恒等式。等每个小组合作得差不多了，教师就选了4个结果在黑板上展示（如下图）。

师：请同学们停下来，这个活动我们课后再继续探索交流。现在我们一起来看板展示的四个图形，思考一下相应的代数恒等式如何得到，并且验证一下写出的式子是否正确，不清楚的地方可以提问，听不明白的也可以要求重新回答。

经过一番思考后，有一学生提问。

生：我想请问第八小组，等式右边的代数或是如何得到的？

第八小组的一个代表回答：整个图形是由1张大的正方形，3张长方形.2张小的正方形拼成的，所以它的面积是a²+3ab+2b²。

师：清楚了吗？

生：清楚了。

师：同学们还有什么疑问？

学生（齐声）;没有了。

接着师生对四个图形简要地加以分析。

师：我们利用图形面积的不问表示法写出的代数恒等式如何加以验证呢？

生：可以用幂的运算性质或整式乘法法则进行计算验证。

活动二

师：回答得很好。刚才有几十小组的同学拼出这样一个图形（把图l展示在黑板上），请同学们思考一下，如何用a、b的代数式表示它的面积？

学生思考交流了一会儿，有学生举手，我请举手的同学上台讲解。

生1：可以看作是大正方形面积减去小正方形面积，而大正方形连长为（a+b）。面积为（a+b）²，小正方形边长为（a-b）.面积为（a-b）²（边讲解边用手在图上比划），所以图形的面积就是（a+b）²-（a-b）²（边讲解边在图形的下方板书）。

生2：因为这个图形是由四块长方形围成的，所以它的面积是4ab。

师：两位同学都讲得很好，由此我们可以得到一个代数恒等式——

学生（齐声）：（a+b）²-（a-b）²=4ab。

活动三

要求學生思考用硬纸片拼成图形面积来说明（a+2b） （2a+b）=2a²+5ab+2b²的正确性，各小组积极操作，很快有几个小组拼出来了，图形如右图所示，解释也是正确的。我继续问道：“如果代数恒等式换成是（a+2b）（2a-b）=2a²+3ab-2b²呢？还记得我们什么时候用硬纸片演示过‘一（减）的例子？其中的‘一（减）如何处理？”“学习乘法公式（a-b）²=a²-2ab+b²演示过，其中‘一可用纸片重叠。”于是师生一起完成拼图并讲解验证方法。此时，下课铃响了。我要求大家课后继续本活动的探索，下节课再继续研究。