巧借积化和差公式，妙破解三角形问题

摘要：三角函数中的积化和差公式，是两角和与差公式的一个深入应用与变式拓展，也是解决三角函数问题时常用的一组特殊公式.在处理解三角形的综合应用问题时，涉及三角形内角的三角函数值，经常借助积化和差及相关公式加以转化与应用，巧妙破解相应的的解三角形问题.结合典型实例剖析，总结归纳解题技巧与规律方法，引领并指导数学教学与解题应用.

关键词：积化和差；解三角形；求值；内角；最值

三角函数中的积化和差公式，是简单的三角恒等变换中的一组特殊公式，涉及两角正弦、余弦乘积之间的一种对称关系与应用.而在解三角形问题中，也经常会有相关三角形内角的正弦、余弦乘积之间的关系式，合理借助积化和差公式，转化解三角形中的相关问题.

1 三角求值问题

对于解三角形场景下的三角求值问题，抓住题设条件背景或转化变形，基于相关三角形内角的正弦、余弦乘积之间的关系式，巧妙利用积化和差公式来转化与变形.

例1" （2022年北京大学强基计划数学试卷）在△ABC中，S△ABC=c2（a－b），其外接圆半径R=2，且4（sin2A－sin2B）=（3a－b）sin B，则sinA－B2+sinC2=.

解析：依题，由4（sin2A－sin2B）=（3a－b）sin B及正弦定理，可得4a24R2－b24R2=（3a－b）·b2R.又R=2，所以a2－b2=（3a－b）b，可得a=3b.

因为S△ABC=c2（a－b），所以bcsin A=c（a－b），则sin A=a－bb=3b－bb=3－1.

由a=3b及正弦定理，可得sin A=3sin B，则sin B=sin A3=1－33.

由二倍角公式、积化和差与和差化积公式，可得sinA－B2+sinC22=sinA－B2+cosA+B22=sin2A－B2+cos2A+B2+2sinA－B2cosA+B2=1－12cos（A－B）+12cos（A+B）+sin A+sin（－B）=1+12［cos（A+B）－cos（A－B）］+sin A－sin B=1－sin Asin B+sin A－sin B=1－（3－1）×1－33+（3－1）－1－33=1.

又因为0＜A－B＜π，0＜C＜π，所以sinA－B2+sinC2=1.

点评：对于解三角形场景下的三角求值问题，往往通过正弦定理或余弦定理化边为角，并结合积化和差公式以及其他相应的三角恒等变换公式来转化与应用.特别是在三角求值时，要充分挖掘题设三角关系式的结构特征.

2 内角确定问题

对于解三角形场景下的内角确定问题，往往巧妙利用积化和差公式等及三角函数值的求解，结合三角形的条件来确定对应内角的大小.

例2" 〔2024年广东省汕头市高三（上）质检数学试卷（12月份）〕设锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=bcos A－acos B，求证：B=2A.

证明：依题，由a=bcos A－acos B及正弦定理，得sin A=sin Bcos A－sin Acos B.

结合积化和差公式，可得sin A=12sin（B+A）+12sin（B－A）－12sin（A+B）－12sin（A－B）=12sin（B－A）－12sin（A－B）=sin（B－A）.

又△ABC为锐角三角形，可知A，B∈0，π2，所以B－A∈－π2，π2.

故A=B－A，即B=2A.

点评：对于解三角形场景下的内角确定问题，借助积化和差公式等，或结合三角函数值的求解来确定三角形对应内角的值；或结合三角方程之间的关系确定三角形对应内角之间的关系.

3 三角最值问题

对于解三角形场景下的最值确定问题，在积化和差公式等三角恒等变换公式的变形与应用的基础上，进一步综合基本不等式、三角函数的有界性等合理放缩.

例3" 在△ABC中，若sin A=3cos Bcos C，求cos2B+cos2C的最大值.

解析：依题意，因为sin A=3cos Bcos C，所以结合积化和差公式，可得23sin A=2cos Bcos C=cos（B+C）+cos（B－C），所以23sin A+cos A=cos（B－C）.

于是结合二倍角公式、和差化积公式，可得cos2B+cos2C=1+cos 2B+1+cos 2C2=1+12×（cos 2B+cos 2C）=1+cos（B+C）cos（B－C）=1－cos A·cos（B－C）=1－cos A23sin A+cos A=1－13sin 2A－1+cos 2A2=12－13sin 2A+12cos 2A=12－19+14sin（2A+φ）tan φ=32.

因为－136≤19+14sin（2A+φ）≤136，所以12－19+14sin（2A+φ）≤12+136=3+136，当且仅当sin（2A+φ）=－1时，等号成立.

所以cos2B+cos2C的最大值为3+136.

点评：对于解三角形场景下的三角最值问题，可在巧妙利用积化和差公式等相关三角恒等变换公式的基础上，结合三角关系式的结构特征与性质，合理借助基本不等式来放缩处理，或借助三角函数的有界性来确定最值等，而在这之前对三角关系式的恒等变形与转化，才是问题突破的关键与重点.

4 三角证明问题

对于解三角形场景下的三角证明问题，可利用积化和差公式等三角恒等变换公式的转化，确定三角形中与之对应的边之间的关系，或内角的大小与关系等，为进一步三角证明与判断奠定基础.

例4" 在△ABC中，若tanA+B2=62，tan A＼5tan B=137，证明：cos（A－B）=23.

证明：依题意，因为tan Atan B=137，所以结合积化和差公式可以得到tan Atan B=sin Asin Bcos Acos B=－12［cos（A+B）－cos（A－B）］12［cos（A+B）+cos（A－B）］=137，于是整理可得cos（A－B）=－103cos（A+B）.

由tanA+B2=62，易得

cos（A+B）=1－tan 2A+B21+tan 2A+B2=1－6221+622=－15.

所以cos（A－B）=－103cos（A+B）=－103×－15=23.

点评：对于解三角形场景下的三角证明问题，往往巧妙利用题设条件中的解三角形条件及对应的三角函数关系式，借助积化和差公式等三角恒等变换公式的转化与应用，合理变形与求解，得以确定对应内角的三角函数值，或对应内角的线性运算的三角函数值，或其他相关的三角方程或关系式等的成立问题，实现三角问题的证明与应用.

在新教材中，积化和差公式散见于课本例题、练习和习题等，因此，在三角恒等变换的教学中要十分重视角的变换，从而认识这些公式之间的内在联系，把这些三角恒等公式编织成网络，有助于我们更加深刻认识和理解知识的内涵.积化和差公式，不仅仅只用于三角函数的综合问题中，对于解三角形、函数与方程等相关问题也有非常重要的作用，关键在于熟练掌握，灵活应用，巧妙拓展.