U型探究思维下双曲线单元教学设计

摘要：双曲线这节在单元教学的理念下，以比较椭圆和双曲线在定义、标准方程、图形特征和a，b，c的关系上的异同为知识层面的明线，以类比法、坐标法、轨迹法和数形结合法等研究方法和猜想、验证、证明等研究思路为能力与素养层面的暗线，以经验的生长与改造、方法的类比与验证、问题的迁移与反思为内在逻辑线设计一系列自然而然的学习活动.这种思维探究模式恰似一个“U型”，培养学生渴求知识的感觉，使学生获得“如何思考”的智慧.

关键词：U型探究；双曲线；单元教学

项目信息：广东省教育科学规划2022年度中小学教师教育科研能力提升计划项目“新课标背景下的高中数学探究活动实践研究”，项目编号为2022YQJK047；2025年广州市规划课题（省教育成果培育项目）“U+4模型：高中数学建模与探究活动的教学改进”，立项编号为2024111279.

加强对数学整体性的认识，强调以具有整体性的知识单元为载体、从知识的联系性出发进行教学设计并展开课堂教学，是这一轮课改的显著特点，也是本次课改中切实发挥数学育人功能、转变数学育人方式、落实数学学核心素养的关键抓手［1］.根据人教A版教材的安排，双曲线的学习是在椭圆的基础上完成的.从知识的前后联系看，本单元是继椭圆后坐标法的进一步运用，所要解决的问题仍然围绕着确定曲线定义—建立曲线方程—研究曲线的几何性质的基本路径开展.故此，双曲线单元探究教学可以类比椭圆的研究背景、研究方法和研究问题来实施.基于以上三个方面的思考，本节以比较椭圆和双曲线在定义、标准方程、图形特征和a，b，c的关系上的异同为知识层面的明线，以类比法、坐标法、轨迹法和数形结合法等研究方法和猜想、验证、证明等研究思路为能力与素养层面的暗线，以经验的生长与改造、方法的类比与验证、问题的迁移与反思为探究的内在逻辑线设计一系列自然而然的学习活动.这个过程正是教育家杜威所提出的，学生在整体性的世界中的学习需要经历一个“U型”的过程：还原与下沉、经验与探究、反思与上浮.这种思维探究模式既强调学生与情境的相互作用，又注重学生的主观选择与价值判断，过程中学生从“知识习得”升华到“知识迁移运用”［2］.

1 由“和”变“差”，经验的生长与改造探究

研究完椭圆后，经验发展的一个自然问题就是：平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？由“和”改为“差”，从而引发出概念的经验生长与改造.

1.1 概念的经验生长与改造

问题1" 我们把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.根据以上定义，同学们还能提出什么问题呢？

学生：到两个定点的距离之差（积、商）等于常数的点的轨迹是什么？

问题2" 我们利用信息技术先来验证一下：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹为何是椭圆？

基于教材，引导学生借助信息技术来探究：在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点.在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆，如图1.

问题3" 请同学们在AB间移动点P，随着点P的运动，观察两圆的交点M满足什么几何条件？其轨迹是什么形状？

学生：|MF1|+|MF2|=|AB|，轨迹为椭圆.

问题4" 两圆一定相交吗？当满足什么条件时，两圆相交？同学们不妨改变一下AB的长度进行观察.

学生：如果|F1F2|＜|AB|，那么两圆相交，其交点M的轨迹是椭圆；如果|F1F2|＞|AB|，两圆不相交，不存在交点轨迹.

1.2 作图的经验生长与改造

通过上面的半径之和为定值的两圆交点轨迹作图经验示范，继续引发是否可以通过半径之差为定值的两圆交点轨迹进行曲线形状的探究.那么，如何改造作图的条件成为学生必须思考的关键.

问题5" 如果我们要探究与两个定点F1，F2的距离的“差”等于常数的点的轨迹是什么，那么该如何改变条件呢？

学生：让点P在线段AB外运动（如图2），此时|PA|-|PB|=±|AB|，则|MF1|-|MF2|就是一个常数.

问题6" 随着点P的运动，观察两圆的交点M满足什么几何条件？其轨迹是什么形状？

一部分学生认为两圆交点运动的轨迹是双曲线；一部分学生却认为两圆不存在交点，没有交点轨迹.

问题7" 为何有些同学认为两圆有交点，有些同学却认为没有交点呢？

通过探究观察，学生发现在|AB|lt;|F1F2|的条件下两圆才有交点.

问题8" 类比椭圆的定义，请同学们用数学语言表述以上观察到的规律.注意两个定义之间的差异体现在哪里？

问题9" 双曲线定义中的“绝对值”能否去掉？

问题10" 如果去掉“绝对值”如何分析轨迹点所在的位置？

问题的引领，能够使探究关联到学生已有的经验背景上.让学生自行归纳双曲线概念，并通过信息技术的运用发现椭圆与双曲线在概念内涵属性上的异同：相同的是它们都是平面内与两个定点的距离具有某种确定关系的点的轨迹，而且这种确定关系是通过代数运算得到的；不同的是所用的运算方法.这个过程能唤起学生的求知欲、兴趣和探究需要，激发学习主动性，使其“自我卷入”并下沉到学习之中.

2 由“形”到“数”，方法的类比与验证探究

在椭圆几何性质的基础上，已经给出了研究圆锥曲线几何性质的一般路径.故此，双曲线几何性质的探究可以通过类比的方法进行共性与特性的猜想、验证和证明.

2.1 研究路径出共性——范围、对称性、顶点

问题1" 类比椭圆几何性质的研究路径，我们可以研究双曲线的哪些性质？怎么研究？

学生：椭圆是从“形”和“数”两方面研究x，y的范围、对称性、顶点和离心率，如图3.所以我们也可以先从“形”上面观察双曲线在范围、对称性和顶点这几方面的几何特征，再从“数”上对“形”进行检验.

通过类比椭圆的研究路径，学生从“形”与“数”两方面自行发现双曲线与椭圆的共性.突出解析几何用“数”解析“形”的作用，同时提升学生数形结合能力，培养学生学会总结归纳、类比迁移、自我探究的能力.

2.2 形状差异出特性——渐近线、张口大小、离心率关系的探究

问题2" 对比椭圆与双曲线的形状，你还能发现双曲线有哪些不同的特性呢？

学生：椭圆是封闭的曲线，而双曲线是非封闭的开口曲线.故此，猜想双曲线还有渐近线.

问题3" 从猜想、检验到证明的思路，能否猜想出渐近线的方程并验证呢？（以中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线为例.）

学生小组讨论后，给出以下研究思路及分析（图4）：

问题4" 改变渐近线斜率，观察双曲线的变化，分析渐近线对双曲线的什么性质有影响？

学生：张口大小.

问题5" 椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，那么双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？

利用信息技术，学生通过固定a，改变c，或固定c，改变a两方面探究验证e对双曲线张口大小的影响，从而得到e的含义可以理解为焦点离开中心的程度，是可以表示双曲线“张口”大小的一个量.

问题6" 用渐近线与离心率刻画双曲线“张口”大小有什么联系和区别？

学生：从“形”上面观察，当e增大时渐近线与实轴的夹角增大，双曲线开口增大；从“数”上分析，因为e=ca=a2+b2a=1+b2a2，所以用渐近线和离心率都能刻画双曲线的“张口”大小.区别只在于一个反映的是a，b的关系，另一个反映的是a，c的关系，但是二者可以互相转化.

问题7" 两条渐近线什么时候互相垂直呢？当互相垂直时，双曲线的形状有何特征？

遵循从一般到特殊的思路，引导学生思考特例并通过信息技术自行归纳出等轴双曲线的概念及几何性质.

通过类比椭圆的研究路径和使用数形结合的思想，学生探究走得更深入更持久，最后形成思维的总结（图5）.在“形”与“数”的对应关系上找出双曲线与椭圆在范围、对称性与顶点的共性，也找出了渐近线及“张口”大小影响因素的特性.最后不难发现离心率是沟通椭圆与双曲线共性与特性的桥梁.

3 多“变”归“一”，问题的迁移与反思探究

杜威认为，反省的思维与方法更能培养学生的智慧.其实教材中分别在椭圆和双曲线部分都设置了变式例题，题目背景一样，只是数值改变了.因此可以通过引导学生运用例题的前后比较，发现规律，归纳规律.

问题1" 点A，B的坐标分别是（-5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们斜率之积是-49，试求点M的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状.（椭圆）

变式" 把以上的“积”是-49改为“积是49”，点M的轨迹方程又有何变化？针对以上变化，你能发现何规律？（双曲线）

学生小组讨论，得出两条直线的斜率之积若是一个常数m，当mlt;0时，则两直线交点M的轨迹是椭圆，其中m=-b2a2；当mgt;0时，则两直线交点M的轨迹是双曲线，其中m=b2a2.从而得到椭圆与双曲线的统一定义.

问题2" 动点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和M到定直线l：x=254的距离的比是常数45，求动点M的轨迹.（椭圆）

变式1" 如果把直线方程改为x=94，常数改为43，求动点M的轨迹.你又有什么发现？针对以上变化，你能发现何规律？（双曲线）

学生小组讨论，得出平面内动点M（x，y）与定点F（c，0）的距离和它到定值线l：x=a2c的距离的比是常数ca.若0lt;calt;1，即agt;cgt;0，则点M的轨迹为椭圆，方程为x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）；若cagt;1，即cgt;agt;0，则点M的轨迹为双曲线，方程为x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）.

变式2" 若常数ca=1，则点M的轨迹是什么呢？（抛物线）

探究出新知，针对变式内容提出新问题，既需要对前面椭圆和双曲线的深度理解，又使学习有了新的起点，带着问题进入后续学习，为抛物线的学习和圆锥曲线的统一定义作铺垫，起到承上启下、上下贯通的作用.同时让学生感知：值在变但方法不变，结果在变但规律没变的圆锥曲线单元体系.

总的来说，U型探究思维可以从单元统整的视角出发将前后知识进行重构与规划，形成有联系的结构化的探究内容体系.通过问题与情境，将已有经验与新信息建立起关联；通过方法与验证，将研究的思路与思维与要学习的问题建立关联；通过迁移与反思，将看似不同的知识最终化归为一致的知识体系.借助问题的引领，促使学生通过自主活动获取理解概念所需的“事实”，从而形成对概念本质的深刻体悟；有意识地延长知识的获得过程，给学生提供感悟知识精髓的时间和空间；培养学生渴求知识的感觉，使学生获得“如何思考”的智慧［3］.

参考文献：

［1］章建跃.基于数学整体性的单元教学设计（之一）［J］.中小学数学（高中版），2020（Z1）：130.

［2］朱宁波，王志勇.论深度教学的理论逻辑——基于杜威经验主义知识论视角［J］.当代教育科学，2021（11）：23-30.

［3］章建跃.基于数学整体性的单元教学设计之教学过程设计［J］.中小学数学（高中版），2020（9）：66，64.