相似压轴题 “射影”见奇效

摘要：在教学中不难发现，“射影定理”虽然早已从课本中删去，但运用该定理解决的几何问题却时常出现.课本中虽没有相关内容，而题目却总是出现，这不得不让教师对此进行额外拓展.如果“射影定理”没从课本中删除，那么解题时很多问题能够一步到位，这将极大提高学生的解题能力.本文中介绍了“射影定理”及其应用，以此给教师教学提供一些参考.

关键词：“射影定理”；相似三角形；证明；一次函数

为了更大幅度地减轻学生学业负担，苏科版教材中删除了许多内容，如射影定理.然而，笔者从解题和教学经验出发，发现如今仍有许多问题是以射影定理为背景的，或者体现了射影定理的应用.在指导学生解决这些问题时，笔者不禁感叹：如果射影定理没有删，那么“射影定理”可发挥奇效，有些问题将迎刃而解.这种退出教材而不退出命题的尴尬现象，让教师的教学变得非常被动.指导学生应用射影定理解决问题属于超纲教学，因为教材中现在没有该知识点，而倘若不利用射影定理解决，其过程将相对复杂许多[1].因此，教师不得不将之作为课外知识进行拓展，在解决选择题、填空题时，经常利用射影定理引导思路，寻找突破口.

1 引例

如图1，在平面直角坐标系中，直线CD和DE相交于点D（1，2），直线DE的解析式为y=3x-1.如果CD⊥ED，试求直线CD的解析式.

2 解法对比

本题条件比较少，已知一个点D的坐标，一种互相垂直的位置关系和直线DE的解析式.初看此题，求出直线CD的解析式比较容易.于是，形成了下面三种不同的解题方法：

解法1：因为直线DE的解析式为y=3x-1，易得E的坐标为（0，-1），直线DE与x轴的交点坐标为M13，0.过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足为B，A.

由M13，0，可知OM=13.由D（1，2），可知OB=1，BD=2.于是，BM=OB-OM=1-13=23.因为CD⊥DE，DB⊥MC，易证得△DBM∽△CBD，所以DBBC=MBDB，即DB2=MB·BC.代入数值，解得BC=6，则C（7，0）.设直线CD的解析式为y=kx+b，将点（1，2）和点（7，0）代入，解得k=－13，b=73.所以，直线CD的解析式为y=－13x+73.

解法2：因为点D的坐标是（1，2），所以DB=2，OB=1.然后，如解法1求出BM=23.根据射影定理可得22=23BC，所以BC=6，于是点C的坐标为（7，0）.再如解法1求出直线CD的解析式为y=－13x+73.

对比两种解法发现，解法1先证明两个三角形相似，然后得到对应边之比，最后根据该比求出BC的长.而解法2，不需要证明两个三角形相似，直接应用射影定理计算出BC的长.从计算复杂程度上看，直接应用射影定理更简单，且出错几率较小.

3 定理介绍

射影定理和现如今的双垂直模型非常像.下面介绍其中常用的一组比例关系：如图2，△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥A

B，垂足为D.易证得△ACD∽△CBD，于是有CD∶BD=AD∶CD，即CD2=AD·BD.正是射影定理中这个比例关系，在解决一些几何问题时常被用到.通过分析发现，该比例关系是通过证明相似三角形获得，因此掌握好相似三角形是理解该定理的基础.

其实，射影定理的证明不仅可利用相似三角形，还可利用勾股定理.我们可以发现，在Rt△ADC中，AD2+CD2=AC2；在Rt△BDC中，BD2+CD2=BC2.因为在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，所以AD2+CD2+BD2+CD2=AB2.由于AB=AD+BD，所以AD2+CD2+BD2+CD2=（AD+BD）2，于是有AD2+BD2+2CD2=AD2+BD2+2AD·BD，整理后有CD2=AD·BD.所以，勾股定理也是射影定理的基础.

综上所述，相似三角形和勾股定理与射影定理都有关，教师可从这两个知识点入手向学生拓展[2].

4 真题展示

（2022·宜昌）已知，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，以BC为直径的圆O与AB相交于点H，将△ABC沿射线AC平移得到△DEF，连接BE.

（1）如图3，DE与圆O相切于点G.

①求证：BE=EG；

②求BE·CD的值.

（2）如图4所示，延长HO与圆O相交于点K，将△DEF沿DE折叠，点F的对称点F′恰好落在射线BK上.

①求证：HK∥EF′；

②若KF′=3，求AC的长.

解析：（1）①由平移可知BE∥AD，又∠ACB=90°，则∠CBE=90°，所以BE也是圆O的切线.又DE是圆O的切线，所以由切线长定理得到BE=EG.

②利用切线长定理，由于AF也是圆O切线，因此CD=DG，所以要求的BE·CD变成了EG·DG.

此时，不妨连接OD，OG，OE，如图5.容易证得△BO

E≌△GOE，所以∠BOE=∠GOE.同理∠COD=∠GOD，而∠BOE+∠GOE+∠COD+∠GOD=180°，所以∠DOE=90°.易证得OG⊥DE，根据“射影定理”得OG2=EG·DG，其中OG=3，所以BE·CD=EG·DG=OG2=9.（我们可看到，这是本题第一次利用“射影定理”.）

（2）①既然题意目有轴对称，那么可连接FF′.此时，根据轴对称性可得FF′⊥DE.因为HK是⊙O直径，所以∠HBK=90°，即BF′⊥AB.根据平移的性质可得AB∥DE，由于BF′⊥AB，FF′⊥DE，经过点F′的两条线段分别和一组平行线垂直，

所以B，F′，F三点共线，如图6.根据平移可得BC∥EF，则∠2=∠4.因为OB=OK，所以∠1=∠2.根据轴对称性质，可得∠3=∠4，所以∠1=∠3，于是有∠OKF′=∠EF′K，证得HK∥EF′.

②连接CK，CH，如图7.根据轴对称性质可得RF=RF′，于是RF=CH.因为BC，HK都是⊙O直径，所以有矩形BHCK，于是BK=CH.设CH=BK=RF=RF′=x，在Rt△BCF中，CK恰为其斜边上的高，因此再度利用“射影定理”，得BC2=BK·BF，则有36=x（3x+3），解得x=3.

在△BOK中，三边长均为3，所以它是一个等边三角形，进而可求得∠ABC=30°.最后在Rt△ABC中，求出AC=23.

本题问题层层递进，拾级而上，充满了人文关怀.

综上所述，“射影定理”虽然已从苏科版初中数学教材中删除，但通过研究中考真题发现其在解题中发挥的功效仍然非常大[3].所以，教师一方面要重视该定理的拓展与延伸，另一方面要选取正确的知识点加以引入，如本文中提到的勾股定理和相似三角形.这样一来，学生在遇到中考难题时局面才会打开.

参考文献：

[1]刘敏.退出教材却不退出舞台——射影定理在初中几何中的作用[J].中小学数学（初中版），2015（10）：4-6.

[2]黄德诚.浅谈\"双垂直模型中的射影定理\"在初中几何解题中的应用[J].科学咨询（教育科研），2018（11）：85.

[3]周春荔.关于射影定理与勾股定理等价的思考[J].中学生数学，2011（10）：19-20.