例析反比例函数代数推理中考题

1 根据k值不变性建立一元二次方程求解

例1 （2023＼5威海）如图1，若点A，B在坐标系的第一象限的反比例函数y=kx（x＞0）的图象上.点A的坐标为（m，2）.连接OA，OB，AB.若OA＝AB，∠OAB＝90°，则k的值为.

分析：由OA＝AB，∠OAB＝90°，构造全等三角形，用含有m的式子表示点B的坐标，利用同一反比例函数图象上点的坐标之积相等，列出关于m的一元二次方程，解出m即可求出点A的坐标.

解：如图2，过点A作x轴的平行线交y轴于点M，过点B作y轴的平行线交MA的延长线于点N，则∠MOA+∠MAO＝90°，

∠NAB+∠MAO＝90°.

所以∠MOA＝∠NAB.

又∠AMO＝∠ANB＝90°，AO＝AB，所以可得

△AMO≌△BNA（AAS）.

所以AM＝NB＝m，MO＝AN＝2.

易知B（m+2，2-m）.

由点A，B都在反比例函数上，得

2m＝（m+2）（2-m），

解得m1＝-1+5，m2＝-1－5（舍去）.

所以点A的坐标为（-1+5，2）.

所以k＝xy＝2（5－1）＝25－2.

点评：解决本题的突破口是根据已知条件构造一线三垂直图形，出现全等三角形，并利用反比例函数图象上点的坐标特征建立一元二次方程.

2 根据函数图象交点建立含参方程

例2 （2023＼5安徽）平面直角坐标系内，y=kx（k≠0）的图象与y＝-x+b的图象在第一象限相交，如图3所示，则函数y＝x2-bx+k-1的图象可能为（" ）.

分析：由反比例函数y=kx与一次函数y＝-x+b的图象，可知k＞0，b＞0，所以二次函数y＝x2-bx+k-1图象的对称轴为直线x=b2＞0，根据图3中两个交点为（1，k）和（k，1），可得k-b＝-1，所以函数y＝x2-bx+k-1的图象过点（1，-1），不过原点，即可判断函数y＝x2-bx+k-1的大致图象.

解：由于一次函数y＝-x+b的图象经过第一、二、四象限，且与y轴交于正半轴，则b＞0，由于反比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，则k＞0.所以二次函数y＝x2-bx+k-1图象的对称轴为直线x=b2＞0.

由图象可知，反比例函数y=kx与一次函数y＝-x+b的图象有两个交点（1，k）和（k，1），则

-1+b＝k，即k-b＝-1.

所以b＝k+1.

对于函数y＝x2-bx+k-1，

当x＝1时，则有y＝1-b+k-1＝-1.

所以函数y＝x2-bx+k-1的图象过点（1，-1）.

因为反比例函数y=kx与一次函数y＝-x+b的图象有两个交点，所以

方程kx=－x+b有两个不相等的实数根.

所以Δ＝b2-4k＝（k+1）2-4k＝（k-1）2＞0，则

k-1≠0.

所以当x＝0时，y＝k-1≠0，

函数y＝x2-bx+k-1的图象不过原点.

故符合以上条件的只有A选项.

点评：本题考查一次函数、反比例函数和二次函数的综合应用.在解题过程中，要根据一次函数与反比例函数图象的位置、交点坐标建立方程，得出参数之间的等量关系，利用方程的性质求出参数k≠-1，从而确定所求二次函数的大致图象.

3 根据函数图象交点建立方程组

例3 （2023＼5安徽）如图4，点O是坐标原点，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，AB＝2，∠AOB＝30°，点A在x轴的正半轴上，若y=kx（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C.

（1）k＝；

（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2-BD2的值为.

分析：（1）根据含30°角的直角三角形的性质，求出A，B两点坐标，过点C作CP⊥OA，证得△OPC≌△APC（HL），利用勾股定理及待定系数法求函数解析式.（2）分别求出AC与BD的解析式，再联立方程组，求得点D的坐标，分两种情况讨论即可求解.

解：（1）在Rt△OAB中，AB＝2，∠AOB＝30°，则

OB=4，OA=23，所以A（23，0），B（23，2）.

由C是OB的中点，可知OC＝BC＝AC＝2.

如图5，过点C作CP⊥OA于点P，则△OPC≌△APC（HL），所以

OP=AP=12OA=3.

在Rt△OPC中，则有PC=OC2－OP2=4－3=1.

所以C（3，1）.

由y=kx（k＞0）的图象经过点C，得k=3.

（2）易求得直线AC的解析式为y=－33x+2.

由AC∥BD，B（23，2），可得直线BD的解析式为y=－33x+4.

根据点D既在反比例函数图象上，又在直线BD上，

联立y=3x，y=－33x+4，解得x1=23+3，y1=2－3，或x2=23－3，y2=2+3.

当点D的坐标为（23+3，2－3）时，OB2=16，BD2=（23+3－23）2+（2－3－2）2=9+3＝12，所以

OB2-BD2＝16-12＝4.

当D的坐标为（23－3，2+3）时，OB2=16，

BD2=（23－3－23）2+（2+3－2）2=9+3＝12，所以

OB2-BD2＝16-12＝4.

综上，OB2-BD2＝4.

点评：本题综合考查反比例函数图象与几何图形结合产生的性质；涉及含30°角的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、勾股定理，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标知识等；涉及待定系数法、数形结合、方程与函数思想等.

4 根据新定义建立含参方程组

例4 （2023＼5乐山）定义：若x，y满足x2＝4y+t，y2＝4x+t且x≠y（t为常数），则称点M（x，y）为“和谐点”.

（1）若P（3，m）是“和谐点”，则m＝；

（2）若双曲线y=kx（-3＜x＜-1）存在“和谐点”，则k的取值范围为.

分析：（1）根据“和谐点”的定义，建立方程组4m+t=9，12+t=m2，消去t得m2+4m-21＝0，解方程即可.

（2）根据“和谐点”的定义，结合反比例图象上的点建立方程组，得x2=4kx+t，k2x2=4x+t，并变形化简.

解：（1）由P（3，m）是“和谐点”，可得m≠3，且

4m+t=9，12+t=m2，消去t得到m2+4m-21＝0.

解得m＝-7，或m=3（舍去），所以m＝-7.

（2）若双曲线y=kx（-3＜x＜-1）存在“和谐点”，则有

x2=4kx+t，k2x2=4x+t.

①②

①-②，得x+kxx－kx＝-4x－kx.

所以x－kxx+kx+4＝0.

因为x≠y，所以x+kx+4＝0.

整理得

k＝-x2-4x＝-（x+2）2+4.

因为-3＜x＜-1，所以3＜k≤4.

点评：本题是新定义问题，考查运用新定义将问题情境转化为常见问题与所学知识的能力.要运用反比例函数图象上点的坐标特征建立含参方程组，进一步消参化简转化为函数取值范围问题；本题综合性强，有一定难度.

代数推理是《义务教育数学课程标准（2022年版）》新增内容，它是推理的重要形式.我们要运用代数表示方法、基本运算法则及变形技巧进行推理演算得出所求问题的结果.我们要运用函数与方程、数形结合、分类与讨论等数学思想进行等价转化、分析与综合、探索与推导等，抓住所求问题的条件与结论的本质特征及内在联系，要求每一步言之有据，逐步形成代数推理中的演绎推理能力.