既见树木 又见森林：一道压轴题的衍生与探究

摘要：以一道常见的压轴题作为母题，让其衍生，看它的千般变化，在变化之中看不变的本质，培养学生分析问题与解决问题的能力，发展学生的思维，提升学生的核心素养.

关键词：压轴题；母题；初中数学

数学家波利亚说，知识就象蘑菇一样，是成串生长的.一道数学压轴题的编制何尝不是这样的，将一些数学压轴题进行解构，发现它们都是由一些基本模型组合而成的.将一道试题改变条件，强化或弱化条件，可以得到一道新题，或将试题进行组合、转化也可以得到一类新题.笔者以一道常见的压轴题作为母题，让其衍生，看它的千般变化，在变化之中看到不变的本质.

1 试题呈现

如图1，抛物线y=－14x2－34x+52与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y=kx－32过点A，与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，设P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A，D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，求PM的最大值[1].

分析：令y=－14x2－34x+52中y=0，得－14x2－34x+52=0，解得x1=-5，x2=2，可知抛物线与x轴两交点的坐标分别为（-5，0），（2，0），所以点A的坐标为（2，0）.把点A（2，0）代入y=kx－32，得k=34，所以直线AD的解析式为y=34x－32.此题可以采用“设坐标法”，由点P是直线AD上方的抛物线上一动点，设点P的坐标为t，－14t2－34t+52.根据PM∥y轴，可知点M的横坐标也为t，又点M在直线y=34x－32上，所以点M的坐标为t，34t－32.因为点P始终在点M的上方，则PM=－14t2－34t+52-34t－32=－14t2－32t+4=－14（t+3）2+254，所以当t=-3时，PM取得最大值254.

点评：如何表示函数图象一个动点的坐标？方法就是设动点的横坐标为t，再把x=t代入函数解析式，就可以得动点的纵坐标，如抛物线y=ax2+bx+c上动点的坐标就是（t，at2+bt+c），直线y=kx+b上动点的坐标就是（m，km+b）.此题如果仔细观察可以发现一个奇妙的结论，点M的横坐标“-3”，刚好是点A，D横坐标2，-8的平均数，即当M是线段AD的中点时，PD达到最大值，也就是说我们只要求得抛物线与直线AD的交点坐标，则两交点连线段中点的横坐标作为点P的横坐标，此时PM达到最大值.

2 试题衍生

衍生1：三角形面积最值问题.

如图2，抛物线y=－14x2－34x+52与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y=kx－32过点A，与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，设P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A，D重合），求△PAD的面积的最大值.

分析：如图3，过点P作PM∥y轴交AD于点M，过点D作DG⊥x轴于点G.由母题，可知直线AD的解析式为y=34x－32，联立y=－14x2－34x+52，y=34x－32，可解得x=2，y=0，x=－8，y=－152，则A（2，0），D-8，－152，所以DG=152，AG=10.故S△PAD=S△PDM+S△PAM=12PM·GN+12PM·AN=12PM（GN+AN）=12PM·AG=5PM.因为S△PAD=5PM，所以当PM取最大值时，S△PAD有最大值.由母题可知，若设点P的坐标为t，－14t2－34t+52，则点M的坐标为t，34t－32，于是PM=－14t2－34t+52-34t－32=－14＼5（t+3）2+254，所以当t=-3时，PM取得最大值为254.所以S△PAD的最大值为1254.

点评：求抛物线内三角形的面积，通常这样的三角形是斜放的，即它的各边都不与坐标轴平行，此时要使用“宽高公式”计算三角形的面积，即过动点纵向切分三角形，也可横向切分三角形，将这个三角形分割为两个三角形的和或差，而分得的两个三角形其中有一边与坐标轴是平行的，据此可以推得原三角形面积计算的宽高公式.

衍生2：平行四边形存性问题.

如图4，抛物线y=－14x2－34x+52与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y=kx－32过点A，与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，作DE⊥y轴于点E.设P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A，D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M.是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

分析：如图5所示，由上述两题的解答可知，若设点P的坐标为t，－14t2－34t+52，则点M的坐标为t，34t－32，PM=－14t2－34t+52-34t－32=－14t2－32t+4，点D的坐标为-8，-152.由y＝34x-32，可得到点C的坐标是0，-32，所以CE＝-32--152＝6.由于PM∥y轴，要使四边形PMEC是平行四边形，必有PM＝CE，即-14t2-32t+4＝6，解方程得t1＝-2，t2＝-4，符合-8＜t＜2.当t＝-2时，y＝-14×（-2）2-34×（-2）+52＝3；当t＝-4时，y＝-14×（-4）2-34×（-4）+52＝32.因此，直线AD上方的抛物线上存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形，且点P的坐标分别是（-2，3）和-4，32.

点评：使四边形PMEC是平行四边形，仍然需要用含点P横坐标的代数式表示PM的长，然后根据平行四边形性质，建立一元二次方程求解.看来用含点P横坐标的代数式表示PM的长是一个始终绕不过去的坎，这是学生必须掌握的基本模型.此题还可以弱化条件，将“点P是直线AD上方抛物线上的一点”改为“点P是抛物线上一点”，此时需要建立绝对值方程，结果还会需加两种情况.

衍生3：三角形周长最值问题.

如图6，抛物线y=－14x2－34x+52与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y=kx－32过点A，与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A，D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作PN⊥AD于点N.设△PMN的周长为l，求l的最大值.

分析：由上述几道题的解答，知OA=2，OC=32.在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC=52，所以C△AOC=6.因为PM∥BC，所以∠PMN=∠OCA.又∠PNM=∠AOC=90°，则有△PNM∽△AOC，所以C△PNMC△AOC=PMAC，从而C△PNM=25PM×

6=125PM.由母题，若设点P的坐标为t，－14t2－34t+52，则点M的坐标为t，34t－32，PM=－14t2－34t+52-34t－32=－14t2－32t+4，所以C△PNM=125－14t2－32t+4，即l＝-35t2-185t+485.由l＝-35t2-185t+485＝-35（t+3）2+15，又-35＜0，可知l有最大值，所以当t＝-3时，l的最大值为15.

点评：本题通过相似将△PNM的三边之和确定下来，要求△PNM周长的最大值，只需求一边长的最大值即可，于是把△PNM的周长转化为用PM表示的形式，最后通过二次函数的模型求得周长的最大值.本题又一次把问题转化到求线段PM的长度上，这就是母题的核心作用.掌握了母题的解题思路，其他的问题只需要转化即可.

近几年，中考试题以能力立意，以培养学生的素养为导向，着重理性思维的考查，体现创新性，通常以考查学生的核心素养为基础，以考查数学思想方法为导向，以情境为载体，注重综合性与层次性[2].而试题的衍生与拓展体现了转化、数学建模等数学思想，培养了学生分析问题与解决问题的能力，契合中考命题的一个导向，有利于发展学生的思维，落实学生的核心素养！

参考文献：

[1]邱小航.图形平移规律在平行四边形存在性问题中的应用[J].中学数学杂志，2014（6）：55-57.

[2]吴欢.数学核心素养视域下的中考情境题评价研究[D].苏州：苏州大学，2022.