挖掘“四点共圆”巧手段，探寻中考压轴突破点

在解题过程中我们经常会发现这样一些问题，题目的背景中根本没有出现圆的知识，更没有明确用圆的知识点来解答，但是在解题过程中却发现如果利用圆的知识来解答，会让问题变得非常容易，甚至可以起到画龙点睛之笔，让问题轻松化解，甚至还会有意想不到的收获，可拓展到更深的结论中.因此正确理解、把握“四点共圆”，对于突破中考压轴问题有着举足轻重的妙用.本文中针对“四点共圆”的巧用作简单的论述.

引例 如图1，在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD的位置，点D在直线AB外，连接AD，BD.若点D和边AC上的点E满足ME⊥AD，DE∥AB.连接CD，求证：BD＝CD.

思路研究：由MA＝MD＝MB，可得∠MAD＝∠MDA，∠MDB＝∠MBD，再由三角形内角和定理得∠ADB＝∠MDA+∠MDB＝90°；证四边形EMBD是平行四边形，得DE＝BM＝AM；再证四边形EAMD是平行四边形，进而得平行四边形EAMD是菱形，则∠BAD＝∠CAD；然后证A，C，D，B四点共圆；最后由圆周角定理得BD＝CD，即可得出结论.

1 准确把握“四点共圆”的内涵

（1）概念理解.对于“四点共圆”，顾名思义就是在同一平面内，有四个点在同一个圆上所表现的形状特点，又称为四个点共圆，简称为“四点共圆”.

（2）概念判定.第一种方法：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，即可确定这四点共圆.第二种方法：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或其中一个外角等于其邻补角的内对角时，即可确定这四点共圆.

（3）概念性质.根据“四点共圆”我们可以对其表现的性质归纳为如下三点：其一是共圆的四个点所形成的共底边的两个三角形顶角相等；其二是圆上四点形成的四边形其对角互补；其三则是圆内接四边形的每一个外角等于它的对角.

熟练把握这些简单的性质，我们在遇到三角形或四边形问题时，可根据其给定的一些角的特点进行转化，转化为圆的知识来解题，能起到事半功倍的效果，更是容易确定解题突破口，让疑难问题得到解答.

2 熟练运用“四点共圆”的特性

2.1 巧用“四点共圆”突破“最值问题”

有时候我们遇到一些问题，给出的一些条件都是涉及角的问题，很难将这些角之间的关系联系起来，或者一些很常见的作图，看起来似乎没有明显的内在关系，但是如果能想到“四点共圆”，就能将它们牢牢把控在一个整体“圆”中，再利用圆的知识来突破，问题就会变得很容易.

例1 如图2，在正方形ABCD中，E为边CD的中点，边BC上有一动点F，连接AE，AF，过点E作EP⊥AF，垂足为P.再以P和B为顶点作矩形PMBN，点M，N分别在AB和BC上，连接MN，AB＝2，试求MN的最小值.

问题突破：如图3，由条件可知A，D，E，P四点共圆，取AE的中点O，过点O作OG⊥AD于点G，作OH⊥AB于点H，连接OB交⊙O于点P′，连接PB，根据题意可得四边形MBNP为矩形，则要求MN的最小值，即求PB的最小值，再根据两点之间线段最短得PB+OP≥OB，以此即可求出PB的最小值，从而求得MN的最小值.

2.2 巧用“四点共圆”突破“角度问题”

在求解关于“角度”的问题中，如果能够结合“四点共圆”的知识，将角转化为圆中的某个角，借助圆周角或者圆心角等知识点来处理会让问题变得极其容易，也是突破角度难题的一个方法.

例2 如图4，在等腰三角形ABC中，∠ABC=∠ACB，边BC上存在一点D（点D不与BC的中点重合），连接AD.将△ADC沿着直线AD折叠，点C的对应点记为点E，连接EB并延长交AD的延长线于点F，若AB＝22，通过计算判断AD＼5AF值的情况.

问题突破：如图5，连接FC，根据∠ABC=∠ACB，∠ACB=∠AED，可得A，D，B，E四点共圆，进一步可得A，B，F，C四点共圆，得到∠AFB＝∠ACB＝∠ABC，易得△ABD∽△AFB，则根据相似三角形性质可得ADAB=ABAF，即AD＼5AF＝AB2=8.

2.3 巧用“四点共圆”突破“路径问题”

在研究路径问题时，若出现求路径长度问题，这就需要我们将特殊角借助“四点共圆”的特性进行转化，从而将未知角转化为圆内特殊角，这样借助特殊角求线段长度，动点路径问题可以迎刃而解.

例3 如图6，四边形ABCD是正方形，P是边AB上的一个动点，连接CP，过点P作PE⊥PC，交AD于点E，再以PE为边长向正方形ABCD内部作小正方形PEFG，点G在线段PC上，连接EG，PF交于点O，点P从点A运动到点B时点O也随之运动，若AB=6，求点O运动的路径长.

问题突破：如图7，连接OA和AC，由四边形ABCD是正方形，可计算得到AC=62，易得A，P，O，E四点共圆，

在该圆中易知∠OAP=∠OEP=45°，所以在点P的运动过程中，点O始终在正方形ABCD的对角线AC上运动.

当点P运动到点B时，O为AC的中点，即可得出答案.

2.4 巧用“四点共圆”突破“实际问题”

在实际应用问题的处理中，有时候遇到的问题并不能直接联系在一起，但是可以借助问题情境利用“四点共圆”，从而将角的问题转化为弧的问题，再转化为弦的问题，这样便于解决实际问题中的线段长度.

例4 如图8，某设计师在一块四边形ABCD形状的空地上设计修建两条交叉的小路AC和BD，这样就将空地划分为四部分，两条小路（宽度忽略不计）交点记为P，如上下两块空地△ADP和△BPC单独种植草坪，另外两块三角形空地种植两种花卉，△ABP种植芍药，△CDP种植玫瑰，经测量，AB＝CD，BD＝150 m，AC＝100 m，∠BAC+∠BDC＝180°，且点C到边BD的距离是40 m，试求种植玫瑰的△CDP的面积比种植芍药△ABP的面积多多少平方米？

问题突破：如何运用已知条件∠BAC+∠BDC＝180°是解决问题的关键，由此我们联想到四点共圆中的对角互补性质.如图9，作点D关于BC的对称点E，连接BE，CE，过点C作CG⊥BD于点G，CH⊥BE于点H，过点P作PM⊥BC于点M，则CE＝CD，BE＝BD＝150 m，∠BDC＝∠BEC，∠DBC＝∠EBC.易证A，B，E，C四点共圆，则AB＝CE，进而得到∠ACB＝∠CBE，则AC∥BE.再证明BP＝CP，所以四边形ABEC是等腰梯形，则EH＝12（BE-AC），然后由勾股定理得BC，利用等腰三角形的性质得BM＝12BC，进而证△BMP∽△BHC，求出CP和BP，则PD＝BD-BP，AP＝AC-CP，即可解决问题.

3 “四点共圆”的反思与感悟

在日常教学过程中，如何熟练把握“四点共圆”的技巧，关键是考虑运用的条件，这和我们常说的隐圆有着异曲同工之妙，要时刻把握好形成圆的几个条件，要看角，看弧线，看角与角之间的关系，看线段与线段之间的关系.这需要我们日常教学经验的积累，更要有研究问题的习惯，从而培养对数学问题的感知素养.在不断的练习中提升“知识点”的运用能力，再结合“隐圆”的特征，注重归纳，提高探究思维的动力，形成“大目标、大概念、大问题、大结构”的理念意识，再解决此类问题就不会感到有困难了.

4 结束语

“四点共圆”问题不仅仅在初中数学中经常遇到，在今后的高中数学学习中也会经常遇到，因此我们不但要把握四点共圆的常见性质并积极加以运用，更要在今后的学习中不断深入研究，了解其悠久的历史渊源和丰富的解题技巧，更深入地探究四点共圆会给我们解题带来奇妙解法.只有这样，才能更好地提高学生的学习兴趣和探究能力，锻炼学生的理性思维与核心素养.