基于折纸探究发展学生模型意识的实践探索

摘要：以一道期末试题的教学为例，在学生对折叠的认知基础上，通过折纸的方式，采用问题链的形式展开探究；结合尺规作图，学会逆向思维，加深对折叠的认识，通过学生编题，认识模型，提升思维品质.

关键词：折纸探究；尺规作图；模型意识；数学思想

折纸教学是初中数学中一种常见的教学方法，通过折叠纸张来帮助学生理解数学概念.折纸在苏科版八上“轴对称图形”这一章探究轴对称（轴对称图形）的性质起着非常重要的作用，也为八下研究特殊的四边形的性质供了方法，同时也为数学中几何证明添加辅助线提供了思路.

1 试题呈现

（2024年八年级数学期末卷第24题）在三角形纸片ABC（如图1）中，仅折叠纸片两次，就能分别在AB，BC，AC上得到点D，E，F，使四边形DBEF为菱形.

（1）请用直尺（不带刻度）和圆规，在图1中作出菱形DBEF.（不写作法，保留作图痕迹.）

（2）若△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，AB=AC=2，求所作菱形DBEF的面积.（如需画草图，请使用备用图.）

2 试题分析

这是一道折纸与尺规作图、计算相结合的几何综合题，涉及图形折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定和性质，考查学生灵活运用数学知识的能力.本题渗透了数形结合思想、方程意识和模型观念，有助于发展学生的几何直观、运算能力、推理能力等数学核心素养.

3 教学实施

3.1 动手操作，激活模型

问题1 如图2是一张三角形纸片，如何通过折叠纸片一次，在AB上找一点D，使△BCD是等腰三角形.

方法一：如图3，过点B折叠，使得点C落在AB上，

与点C重合的点就是点D.

方法二：如图4，折痕过点C，使得点B落在AB上，与点B重合的点就是点D.

方法三：如图5，折叠BC，使得点B与点C重合，折痕与AB的交点就是点D.

教学说明：通过设计一道结论开放的问题，引导学生体验折纸过程中几何图形所涉及元素之间的位置关系和数量关系.利用重合的图形全等（重合的边相等、重合的角相等）等知识点，学生容易想到方法一，但同时想到方法二、三的学生不多.通过师生共同探讨，本题的实质就是转化为等腰三角形存在性问题，体现了分类讨论的数学思想.当BC为等腰三角形的腰时想到方法一和二；当BC为等腰三角形的底时，想到方法三.通过从基本图形出发，既回顾了基本知识点，也激发了学生思维的活跃度，从而正向理解折叠的性质.

3.2 问题深入，强化模型

问题2 如图6是一张三角形纸片，如何通过折叠纸片，

在AB上找一点D，在AC上找一点E，使△DBE是以BE

为底的等腰三角形.

教学说明：学生通过讨论，得到点E位置有两种可能性.

一种是点E与点C重合，问题就回归到问题1中的方法三；

另一种是点E在线段AC上（不包括端点A，C）.针对第二种情况，学生有以下两种解决方法.

方法一：如图7，过点B折叠，使得点C落在AB上，折痕与AC交于点E，再过点E折出一条与BC平行的折痕，该折痕与AB的交点就是点D.

方法二：如图8，过点B折叠，使得点C落在AB上，折痕与AC交于点E，再折叠BE，使得点B与点E重合，折痕与AB的交点就是点D.

学生发现问题2不可能通过一次折叠达到目的，结合等腰三角形的判定和性质想到了两种方法.学生利用平时的一个数学基本模型，已知角平线和平行线可以推出等腰三角形，想到方法一，折出与BC平行的折痕，该步骤可以操作，但比较麻烦，需多次折叠才能达成；学生利用垂直平分的性质想到了方法二，可操作性强.通过问题的深化，学生对折叠的性质有了更深的理解，特别是对图形翻折中折痕的作用（对应点连线的垂直平分线）有了更深刻的认识.

3.3 结合尺规，提升模型

问题3 在三角形纸片ABC中，仅折叠纸片两次，就能分别在AB，BC，AC上得到点D，E，F，使四边形DBEF为菱形.请用直尺（不带刻度）和圆规，在图1中作出菱形DBEF.（不写作法，保留作图痕迹.）

教学说明：在问题1和问题2的基础上，再来研究问题3就比较容易了.学生结合菱形的性质和折叠的次数（仅两次），通过讨论，得到一种比较简单的作法——作∠ABC的角平线，交AC与点F，再作BF的垂直平分线，分别交AB，BC于点D，E，则四边形DBEF即是所求.本题将尺规作图与折纸相结合，可以让学生在实际操作中加深对几何图形的理解.通过折纸，学生可以观察到折纸的几何图形的变化，并在尺规作图中可以将这些图形精确地绘制出来，加深对几何性质的理解，加强逆向思维，提高空间想象能力和解题能力.通过问题1～3的铺垫，上述期末试题迎刃而解，第二问结合菱形的性质，设未知数，利用方程求出最后的答案，详细过程不再赘述.

3.4 学生编题，内化模型

教学过程中，教师经常会采用一题多解、多图一题、一题多变的形式，将相关知识点系统化、结构化、网络化，进而提高学生解题能力.其实，让学生参与编题，更能将所学知识融入到个人的认知结构中，转化为自己的思维能力.结合问题内容，组织学生以三角形为背景，编制一道关于折叠的题目.以下选择了学生编写的几个有代表性的题目：

题目1 如图9，将△ABC折叠，使点B与AC的中点D重合，折痕为MN，若BC=8，AC=7，求

△CDN的周长.

题目2 如图10，在三角形纸片ABC中，AB=AC，∠BAC＝90°，E为AB的中点，沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕交BC于点F，已知EF=2，求BC的长.

题目3 如图11，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB=6，BC=8，将△ABC折叠，使点C与AB中点D重合，折痕交AC于点M，交BC于点N，求线段BN的长.

题目4 如图12，在△ABC中，∠C＝90°，AC=6，BC=8，点D，E分别在AC，BC上，且DE∥AB，将△ABC沿DE折叠，点C落在线段AB上的点F处，求AF的长.

教学说明：学生参与编题过程，需要对知识进行深入理解和整理，需要思考问题的角度、深度、难度，能够培养思维能力和创造力.题目3是在题目1的基础上编制的，而题目4是在题目3的基础上编制的，学生学会了一题多变，一图多变，知识点由浅入深，基本涵盖了折叠的性质，抓住了折叠的核心内容、核心思想和核心方法.对于题目3，教师也作了变式，提出了思考题——如果将条件中“中点”去掉，问题改为在AB上是否存在一点D，使得四边形CMDN是菱形，此时CN的长为多少？该问题的设置既提升了难度，

也为即将学习的相似作了铺垫.通过今后的学习，对于折叠问题，常用勾股定理或相似建立方程来解决.教师应立足一道题，串联一类题，立足一个图形，研究一类图形，在“内化”上下功夫.

4 教学反思

4.1 重视动手操作，提升核心素养

通过实际操作，可以激发学生对数学的兴趣和热情，加深学生对数学知识的理解，培养动手能力，激发创新思维，促进学生数学素养的全面提升.在教学过程中，教师可以结合教材中的“数学实验室”“数学活动”等项目，通过“做”数学，让学生感悟、理解数学知识，并能用所学知识解决问题.比如苏科版八上教材“轴对称图形”这一章中有一个数学活动“折纸和证明”，教师以此开展项目学习，让学生为后续“图形的折叠”的研究积累数学活动经验、基本知识和基本思想方法，同时体会数学的价值，提高发现与提出问题、分析与解决问题的能力，发展应用意识、创新意识和实践能力［1］.

4.2 加强尺规作图，发展推理能力

《义务教育数学课程标准（2022年版）》对于尺规作图的学业要求是：经历尺规作图的过程，增强动手能力，能想象出通过尺规作图的操作所形成的图形，理解尺规作图的基本原理与方法，发展空间观念和空间想象力.尺规作图是逆向思维形成的结果，特别需要推理能力［2］.通过画出草图，再结合图形的基本性质，从不同的角度展开联想，得到不同的方法，并且要验证其合理性和可操作性.综合性强的尺规作图的结果具有开放性和探索性，有时还需要从中找到最优解法，这对学生推理能力的形成有很好的助推作用.

4.3 立足单元设计，落实深度学习

教师要有全局观念，整体把握所教内容，培养学生建立知识之间联系的意识和能力，不孤立地学习一个个知识点，而是随着学习的不断推进，将知识串联起来，形成知识链和知识网络，让学生体会其中蕴含的数学思想方法，提升核心素养.比如教师进行折叠复习时宜采用单元教学，从折纸中最简单的问题出发，到三角形的折叠，再上升到到四边形的折叠，让学生对折叠的本质和勾股定理、相似、方程等知识点的联系有深刻的理解，体会数学中的转化思想和方程思想，将“习题链”上升到“方法链”“思想链”，从而达到对折叠的深度学习.

参考文献：

[1]刘晓玫，黄延林.深度学习：走向核心素养（学科教学指南＼5初中数学）[M].北京：教育科学出版社，2019.

[2]唐萍.在问题探究中促进学生思维发展[J].中学数学教学参考，2024（2）：35-37.