利用端点效应揭示2023年全国甲卷理科第21题

摘要：2023年全国甲卷第21题是函数与导数问题，考查利用导数讨论函数单调性、求参数取值范围的相关知识，落实了数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数据分析和数学建模核心素养.该题是与三角函数相关的含参讨论问题，对学生的数学运算与逻辑分析能力要求较高，在解题过程中可以充分借助“端点效应”解决问题.本研究通过试题分析和一题多解的方式，让学生达到举一反三的效果.

关键词：端点效应；三角函数与导数

1 真题呈现

（2023年全国甲卷理科第21题）

已知函数f（x）=ax-sin xcos 3x，x∈0，π2.

（1）当a=8时，讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）lt;sin 2x，求a的取值范围.

2 思维分析与思维导图

2.1 思维分析

对于第（2）问，构造函数是成功解决问题的重要一步.构造函数g（x）=sin 2x+sin xcos 3x-ax后可以发现，端点处恰好有g（0）=0，符合端点效应的特征.在恒成立问题中，我们常常能见到类似的命题，如“对于任意的x∈，都有f（x）≥0恒成立”（f（x）中包含参数），这里的端点a，b往往是使结论成立的临界条件.我们把通过观察区间端点的值来解决问题的方法，称之为端点效应.结合端点效应，本题的解题思路可由g′（0）=0得到命题成立的必要条件，从必要条件入手进一步寻找充要条件.

对于在高等数学方面有涉足的学生，可以借助高等数学中一些常见的不等式来帮助解决问题.在第（2）问中可以尝试借助帕德逼近和泰勒公式等相关公式解题，适合基础较好且对高观点解题背景感兴趣的学生.

2.2 思维导图

第（1）问的思维导图如图1所示：

讨论f（x）=8x-sin xcos3x的单调性

讨论f′（x）=8-cos4x+3sin2xcos2xcos6 x的符号

解法1：因式分解

分解因式，得f′（x）=

（2cos2x-1）（4cos2x+3）cos4x

解法2：换元转化

f′（x）=8-3cos4x-2cos2x，令t=1cos2x

第（2）问的思维导图如图2所示：

3 解答

3.1 第（1）问的解答过程

3.1.1 解法1：因式分解

当a=8时，f（x）=8x-sin xcos 3x，x∈0，π2，则

f′（x）=8-cos 4x+3sin 2xcos 2xcos 6x=8-cos 2x+3sin 2xcos 4x=（2cos 2x-1）（4cos 2x+3）cos 4x.

令f′（x）=0，得2cos 2x-1=0，又x∈0，π2，则x=π4.

当x∈0，π4时，cos x∈22，1，2cos 2x-1gt;0，f′（x）gt;0，f（x）单调递增；

当x∈π4，π2时，cos x∈0，22，2cos 2x-1lt;0，f′（x）lt;0，f（x）单调递减.

3.1.2 解法2：换元转化

当a=8时，f（x）=8x-sin xcos 3x，f′（x）=8-1+2sin 2xcos 4x=8-3-2cos 2xcos 4x=8-3cos 4x-2cos 2x.

令t=1cos 2x，由x∈0，π2可得t∈（1，+∞）.

设h（t）=8-（3t2-2t）=-（t-2）（3t+4）.

当t∈（1，2）时，有x∈0，π4，f′（x）gt;0，f（x）单调递增；

当t∈（2，+∞）时，有x∈π4，π2，f′（x）lt;0，f（x）单调递减.

3.2 第（2）问的解答过程

3.2.1 解法1：换元简化运算

由f（x）lt;sin 2x，可得sin 2x+sin xcos 3x-axgt;0.

设g（x）=sin 2x+sin xcos 3x-ax，x∈0，π2，

则g′（x）=3-2cos 2xcos 4x+4cos 2x-a-2=3cos 4x-2cos 2x+4cos 2x-a-2.

令t=1cos 2x∈（1，+∞），

设h（t）=3t2-2t+4t-a-2，则h′（t）=6t-2-4t2gt;6-2-4=0，所以y=h（t）在（1，+∞）上是增函数，则h（t）gt;h（1）=3-a.所以当h（1）=3-a≥0，即a≤3时，g′（x）gt;0，g（x）在0，π2上单调递增，g（x）gt;g（0）=0.

下面是agt;3时的情况：

算法1：证明存在区间（0，α）使得g（x）在（0，α）上单调递减且g（0）=0，所以agt;3不成立.

因为h（t）在（1，+∞）上单调递增，且h（1）=3-alt;0，h（t）=t2+2t2-2t+4t-a-2gt;t2-a-2，所以h（a+2）gt;0，所以存在α∈（0，a+2），使得h（α）=0.所以g（x）在（0，α）上单调递减，在（α，+∞）上单调递增.又因为g（0）=0，所以g（x）在（0，α）上小于零，不合题意.

算法2：端点效应.当agt;3时，

此时g′（0）=3-alt;0，故存在区间（0，α），使得g′（x）lt;0，所以g（x）在（0，α）上单调递减，g（x）lt;g（0）=0，即g（x）在（0，α）上均为负值，不合题意.

综上所述，a≤3

端点效应的原理：端点效应应用了函数极限的原理，在高等数学中有邻域的概念，若不等关系在区间上恒成立，则在端点处也要成立.如果f（x）≥0在区间上恒成立，且满足f（m）=0，

则当k足够小时，在区间内f（x）必定单调递增，f′（m）≥0;同理，若f（n）=0，则当k足够小时，在区间内f（x）必定单调递减，f′（n）≤0.注意这种情况的使用前提条件.

3.2.2 解法2：端点效应确定讨论标准（对运算素养要求高）

由f（x）lt;sin 2x，得sin 2x+sin xcos 3x-axgt;0，设g（x）=sin 2x+sin xcos 3x-ax，x∈0，π2，则可得

g′（x）=3-2cos 2xcos 4x+4cos 2x-a-2，注意到g（0）=0.由题意可知，g′（0）≥0是g（x）≥0成立的必要条件，由g′（0）=3-a≥0得a≤3.

下证充分性，讨论agt;3和a≤3.

当a≤3时，g′（x）≥3-2cos 2xcos 4x+4cos 2x-5=（cos 2x-1）2（4cos 2x+3）cos 4xgt;0，所以g（x）在0，π2上单调递增，g（x）gt;g（0）=0.

下面是agt;3时的情况：

算法1：当agt;3时，证明存在区间（0，α）使得g（x）在（0，α）上单调递减，且g（0）=0，所以agt;3不成立.

令h（x）=g′（x）=3-2cos 2xcos 4x+4cos 2x-a-2=3cos 4x-2cos 2x+4cos 2x-a-2，

则

h′（x）=（cos x）′×-12cos 5x+4cos 3x+8cos x=2sin x6-2cos 2x-4cos 6xcos 5xgt;0.

所以h（x）在0，π2上单调递增，注意到h（0）lt;0，由解法1可知3cos 4x-2cos 2x+4cos 2xgt;1cos 4x.

所以h（x）=3cos 4x-2cos 2x+4cos 2x-a-2gt;1cos 4x-a-2（注意认识清楚关键部分，大胆放缩至最简）.取cos 4t=1a+2，t∈0，π2，则h（t）gt;1cos 4t-a-2=0.所以存在α∈（0，t），使得h（α）=0.所以g（x）在（0，α）上单调递减，在（α，+∞）上单调递增.

又因为g（0）=0，所以g（x）在（0，α）上小于零，不合题意.

算法2：端点效应，同解法1的算法2.

综上所述，a≤3.

利用端点效应解题步骤：

（1）找必要条件.考虑函数在区间端点值是否具有特殊性，利用特殊性缩小范围：通过不等式成立的必要条件，初步求出参数的取值范围.

（2）证充分条件.在该范围内进行讨论，验证充分性：通过判断函数单调性求解，证明必要条件亦即充分条件.

3.2.3 解法3：参变分离，极限说明

思维分析：因为x∈0，π2，则f（x）lt;sin 2x可化为alt;sin 2xx+sin xxcos 3x，由解法2确定了参数的取值范围为a≤3，因此只需要证明3lt;sin 2xx+sin xxcos 3x即可.

解答过程：下面证明sin 2x+sin xcos 3xgt;3x.令h（x）=sin 2x+sin xcos 3x-3x，则h′（x）=3cos 4x-2cos 2x+4cos 2x-5=（cos 2x-1）2（4cos 2x+3）cos 4xgt;0，所以h（x）在0，π2上单调递增，则有h（x）gt;h（0）=0，即sin 2x+sin xcos 3xgt;3x.又因为limx→0sin 2x+sin xcos 3x=0，

所以a≤3lt;sin 2xx+sin xxcos 3x

通过以上从多个角度解题的过程可以发现，扎实的数学基础是必须具备的条件，而适当的解题工具和方法更是可以迅速帮我们找到解题切入点.在今后的函数与导数的学习过程中，我们应该做到以下几点：理解落实教材，理解概念与过程，理解方法与模型，理解命题意图，反思升华思维，基础训练保证量，难题思维深刻保证质，做到“基础与能力并举，思想与方法同行”.

4 链接

（1）（2015北京卷理科第18题）已知函数f（x）=ln 1+x1-x.

①求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

②求证：当x∈（0，1）时，f（x）gt;2x+x33.

（2）（2008全国卷Ⅱ理科第22题）设函数f（x）=sin x2+cos x.

①求f（x）的单调区间；

②如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范围.

③设实数k使得f（x）gt;kx+x33对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值.