巧用教材的“边角料”

关于高考和教材的关系，专家们都在提倡高考是源于教材而又高于教材，所以二者是密不可分的.通过对比教材和考试真题可以发现，教材不仅仅是知识的载体，同时内部也含有许多“边角料”，值得一线教师和广大学子“咀嚼”和“回味”.

1 函数

1.1 函数的凹凸性

教材链接 2019年人教A版必修一第三章“函数的概念与性质”复习参考题3中综合运用部分的第8（2）题：若g（x）=x2+ax+b，证明gx1+x22≤g（x1）+g（x2）2.该题虽然用代入作差的方法也可以证明，但其本质与函数的凹凸性有关，高等数学教材中对凹凸性的说明如下：

一、函数凹凸性定义

设f（x）在区间I上有定义

（1）若对任意的x1，x2∈I且x1≠x2，有

fx1+x22gt;f（x1）+f（x2）2，

则称f（x）在（a，b）内为凸函数，如图1；

（2）若对任意的x1，x2∈I且x1≠x2，有

fx1+x22lt;f（x1）+f（x2）2，

则称f（x）在（a，b）内为凹函数，如图2.

二、函数凹凸判别法

定理 （1）若在（a，b）内有f″（x）gt;0，则f（x）在（a，b）内为凹函数；

（2）若在（a，b）内有f″（x）lt;0，则f（x）在（a，b）内为凸函数.

真题展现：

例1 （2018全国Ⅰ卷理科第16题）已知函数f（x）=2sin x+sin 2x，则f（x）的最小值是.

例2 （“宜荆荆恩”2024届高三起点考试12题）关于函数f（x）=ln（e2x+1）－x，下列说法正确的有（" ）.

A.f（x）在R上是增函数

B.f（x）为偶函数

C.f（x）的最小值为ln 2，无最大值

D.对x1，x2∈（0，+∞），都有fx1+x22≥f（x1）+f（x2）2

分析：例1的常规解法为求导，再根据函数单调性来解答，思路简单但计算量较大；若熟悉函数的凹凸性，则函数可转化为f（x）=sin x+sin x+sin （π－2x），再根据它为奇函数、周期T=2π以及当x∈0，π2时sin x为凸函数，可得x∈0，π2时有sin x+sin x+sin （π－2x）≤3sinx+x+π－2x3=332，即f（x）的最大值为332，最小值为－332.例2的D选项只需验证f″（x）与0的相对大小即可判断.

1.2 放缩不等式

教材链接 人教A版选择性必修二“5.3.2函数的极值与最大（小）值”正文部分证明了不等式“当xgt;0时，1－1x≤ln x”，并且在后面的练习题中证明不等式“x－1≥ln x，x∈（0，+∞）”，这样就有1－1x≤ln x≤x－1，x∈（0，+∞）.

（习题5.3中综合运用部分的第12题）利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：（1）exgt;1+x，x≠0；（2）ln xlt;xlt;ex，xgt;0.

真题展现：

例3 〔贵阳一中2024届高考适应性月考卷（二）第16题〕已知对任意x，都有e3x－a－1≥1+ln xx，则实数a的取值范围是.

分析：由题可得a≤e3x－1+ln xx－1，设f（x）=e3x－1+ln xx－1=e3x+ln x－1－ln xx－1，根据ex≥1+x可推得e3x+ln x≥1+3x+ln x，即可得到f（x）≥2，所以f（x）min=2，则a∈（－∞，2〗.该题很好地体现了放缩不等式的巧妙之处.若利用求导的常规方法来解答，则费时费力而且不易得分.

1.3 泰勒展开

教材链接 人教A版必修一第五章“三角函数”复习参考题5的第26题介绍了正余弦函数的泰勒展开式：

英国数字学泰勒发现了如下公式：

sin x=x-x33！+x55！-x77！+…，

cos x=1-x22！+x44！-x66！+…，

其中n！=1×2×3×4×…×n.

这些公式被编入计处工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性.比如，用前三项计算cos 0.3，就得到cos 0.3≈1-0.322！+0.344！=0.955 337 5.

试用你的计算工具计算cos 0.3，并与上述结果比较.

这属于教材中的“高观点”内容.

真题展现：

例4 （2022数学高考甲卷第12题）已知a=3132，b=cos14，c=4sin14，则（" ）.

A.cgt;bgt;a

B.bgt;agt;c

C.agt;bgt;c

D.agt;cgt;b

分析：将x=14代入正余弦的泰勒展开式中，截取前2到3项即可判断出cgt;bgt;a.该方法运用泰勒展开，即不超纲，也不需要繁杂的求导计算.

2 几何与代数

教材链接 人教A版选择性必修二“4.2等差数列”节后习题综合运用部分的第7题：

已知Sn是等差数列{an}的前n项和.

（1）证明Snn是等差数列；

（2）设Tn为数列Snn的前n项和，若S4=12，S8=40，求Tn.

真题展现：

例5 （2023新课标Ⅰ卷第7题）记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：Snan为等差数列，则（" ）.

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

分析：该题可在教材中精准找到源头，教师在平时教学应中多研究、多思考、多反问学生，即可推出甲是乙的充要条件.

3 概率与统计

3.1 二项分布的最值

教材链接 人教A版选择性必修三“7.4二项分布与超几何分布”小节后的阅读材料部分介绍了二项分布的性质，对pk的增减变化及最大值做了分析推理，具体如下：

记pk=P（X=k），观察图形我们发现：当k由0增大到n时，pk先增后减，在某一个（或两个）k值处达到最大.二项分布当p=0.5时是对称的，当plt;0.5时向左偏倚，当pgt;0.5时向右偏倚.

下面，我们利用分布列的表达式来研究pk的增减变化及最大值.

pkpk-1=Cknpk（1-p）n-kCk-1n（1-p）n-k+1=（n-k+1）pk（1-p）

=k（1-p）+（n+1）p-kk（1-p）=1+（n+1）p-kk（1-p）.

当klt;（n+1）p时，pkgt;pk-1，pk随k值的增加而增加；当kgt;（n+1）p时，pklt;pk-1，pk随k值的增加而减小.

如果（n+1）p为正整数，当k=（n+1）p时，pk=pk-1，此时这两项概率均为最大值.如果（n+1）p为非整数，而k取（n+1）p的整数部分，则pk是唯一的最大值.

真题展现：

例6 （2018年全国I卷理科第20题）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p（0lt;plt;1），且各件产品是否为不合格品相互独立.

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0;

（2）略.

例7 （湖北省重点中学2024届高三第一次联考第9题）下列说法正确的是（" ）.

A.某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8

B.对于随机事件A与B，若P（B）=0.3，P（B|A）=0.7，则事件A与B独立

C.若随机变量X～B（6，p），E（X）=4.8，若P（X=k）最大，则D（kX+1）=24

D.设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξgt;1）=p，P（－1lt;ξlt;0）=12－p

分析：例6的第（1）问和例7的C选项都与二项分布pk的最值有关，传统做法是利用不等式求解，计算量较大，费时费力，若熟悉教材中的结论则可以直接套用结论得到结果.

3.2 马尔科夫链

马尔可夫链是概率论和数理统计中的一种随机过程，它具有马尔可夫性质，即一个随机变量的当前状态仅取决于其前一个状态，而与其过去的状态无关，该模型在教材和真题中均有体现.

教材链接 人教A版选择性必修三第七章“随机变量及其分布”复习参考题7的第10题：

甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求n次传球后球在甲手中的概率.

真题展现：

例8 （2023年新课标I卷第21题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

（1）求第2次投篮的人是乙的概率;

（2）求第i次投篮的人是甲的概率;

（3）略.

分析：教材中呈现的是一个简单的马尔科夫链.熟悉教材的学生在做例8第（2）问时就能迅速反应出第i次投篮的人是甲的概率pi取决于pi－1，即可列出关系式pi=0.6pi－1+0.2（1－pi－1），再联系数列求解；不熟悉教材的学生不了解马尔科夫链模型，可能无从下手.

由上面对于函数、几何与代数、概率与统计的教材与考试真题的分析可以看出，教材的课后习题和阅读材料我们都需要关注，教师应该引导学生多读教材，从题海战术中摆脱出来，让教材发展为学材，真正成为学生学习的资源和学习的工具.