基于教材习题的深度探究

【摘要】数学教材上的习题是教材的重要组成部分，是编者反复精心筛选出来的，在解题思路或解题方法上具有很高的代表性.本文从对教材的深度探究出发，选择经典的例题，通过不同的思考方式和思考角度，深度发掘经典习题的价值，提供不一样的研究路径．

【关键词】四点共圆；高中数学；解题技巧

作为一个锻炼思维的学科，数学提倡多角度思考问题.而数学教材上的诸多经典题型，随着学生认知水平的不断提升，转换思考角度重新思考，可以提升思维的高度，得到不同的学习体验.本文结合一道经典例题，展示探究过程，进行实践和思考.

1问题呈现

分析要证明四点共圆，按照定义即需证明这四个点在同一圆上．由于题中给出了四个点的坐标，故只要求出这个圆即可．

2多视角求解

2.1用圆的方程判定

说明方法1充分利用圆的几何性质，即圆中弦的中垂线过圆心，从而确定圆心，求半径，写出圆的标准方程；方法2利用圆的一般方程，任选三个点即可．方法1和方法2通用性强．方法3充分利用数据特点，观察可得M，N，Q三点连线构成直角三角形，从而实现快速求解．

2.2用角判定

根据几何知识可知，对角互补的四边形四个顶点共圆，因此可以求四边形两个对角的和来判定四点共圆，而对于角的计算，既可以利用平面向量的夹角公式，也可以利用解析几何中交角公式进行计算．

在解析几何中，对于角的处理，通常是应用正切，这是由于斜率是角的代数刻画，然而向量是沟通代数与几何的有力工具，因此对于角的处理，也可以运用向量的数量积，即夹角公式.而解三角形时，正弦定理和余弦定理可以很好地处理角边关系.

2.3长度的判定

根据平面几何中圆幂定理的逆定理可以判定四点是否共圆，而圆幂定理需要计算相关线段的长度，因此可以通过长度来判定．

长度几何中重要的量，同样也是解析几何中重要的量，对于长度，有直线被圆、圆锥曲线截的弦长，也有点到直线的距离，平行直线之间的距离，以及空间中异面直线的距离，点到平面的距离等，都需要合理地选择公式计算.

3结语

四点共圆的问题，是一个非常好的培养学生思维的载体，在解决这个问题的过程中，培养学生多角度思考问题，其中如何求解圆的方程，如何计算长度、角度等重要量，让学生体会多个知识之间的联系，深刻理解方程思想、向量工具性、数形结合思想、转化与化归思想等.通过多角度的深度研究和实践，可以很好地帮助学生形成正确的数学学习观.数学教学应当是一个生动活泼的思维活动过程，应展示学生思考的过程，必要时教师要搭建脚手架，让学生逐步学会思考，发展思维，最终提升学生数学学科素养.