数与形的相互交融

【摘要】高中数学解题思想众多，其中数形结合思想绝对留有浓墨重彩的一笔.本文聚焦函数问题中数形结合思想的应用，从高考真题中探索数形结合思想在函数问题中的关键作用与重要性，以形助数，感受数与形相互交融之美.

【关键词】数形结合；高中数学；函数；解题方法

华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.”可见数形结合思想在数学学习中的重要性.数形结合的独特作用，在解决函数问题时有点睛之效.

数形结合思想在函数教学中的应用有许多，下面针对两种重点类型的函数问题进行剖析，总结数形结合在函数问题中的应用方法[1].

1抽象函数求解问题中的数形结合

例已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）=f′（x）.若f3/2－2x，g（2+x）均为偶函数，则（）

（A）f（0）=0.（B）g－1/2=0.

（C）f（－1）=f（4）.（D）g（－1）=g（2）.

问题分析本题中并未详细给出函数式，面对这种题目，第一反应是可以利用代数式进行代换，可是在代换过程中极易发生错误，造成连锁反应.此时，数形结合的作用开始凸显[2].

通过审题可以发现关于f（x）的条件有两个：一个是g（x）为其导函数，另一个则是f3/2－2x为偶函数.同样关于g（x）也有两个条件.根据偶函数的性质f（x）=f（－x）将两个关于偶函数的条件化简，画出满足条件的图象得出有关函数f（x）的进一步条件进行求解.

在画图时一定要注意图象只是辅助观察性质的一种工具，并不代表这个未知函数图象就一定是我们所尝试画出的图象.

解答f3/2－2x为偶函数，根据偶函数性质，可写出一个关于它的条件f3/2－2x=f3/2+2x，再根据新得出的条件尝试画出一个满足题意的图象，如图1.

可以看到这个图象是满足我们推出的条件的，而这样的图象也并不是唯一的.但动手操作后可以发现它们皆有一个共同点，f（x）的图象关于x=3/2对称.有了前一个条件的处理经验，同样关于g（x），有g（2+x）=g（2－x），经过处理后得出g（x）的图象关于x=2对称.

但是还有一个条件并未用到，g（x）为f（x）的导函数.针对未知函数，假设导函数图象如图2所示，根据导函数性质反推原函数.

由导函数性质可知，f′（x）gt;0，f（x）单调递增，但是导函数数值与原函数递增速度有关，画出原函数，如图3所示.观察图象发现原函数f（x）关于x=2中心对称.

至此，我们得出关于f（x）的两个条件，尝试画出符合条件的一个图象，如图4所示.但图4只是代表符合规律的一种图象，并不是具体的图象.

可以看到图象呈规律性变化，是一个周期函数.

由图可知f（0）=f（2），但具体的数值并不能确定.所以（A）选项错误.

题中函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，即要求函数在定义域内处处可导，我们尝试的图象满足题意，而f′（x）代表的是在此处函数的切线斜率，看图可知，函数在x=－1/2处可导，且斜率为0，即g（－1/2）=0，（B）选项正确.

由原函数图象可得周期为2，f（4）=f（2），f（－1）=f（1），而f（2）和f（1）关于x=3/2对称，所以f（－1）=f（4），（C）选项正确.

（D）选项中g（－1）=g（2），所代表的几何意义就是在两处的切线斜率相同，观察图形，很明显，x=2时斜率大于0，x=－1时斜率小于0，二者不相等，故（D）选项错误.

2结语

在数学世界里，数与形密不可分.面对复杂抽象的函数问题，我们可以采用数形结合的方式进行解题，直观有效地得出答案.数形结合只是我们解题时的辅助工具，面对不同的题目，具体情况具体分析：抽象函数观察性质与规律，具体函数观察图象数值等.

参考文献：

[1]尤晓绵.谈数形结合在高中数学中的应用技巧[J].数学学习与研究，2021（28）：26-27.

[2]刘来.数形结合思想在高中函数中的应用[J].高考，2021（14）：19-20.