数形结合思想下的初中数学解题方法探究

【摘要】在数形结合思想下，初中数学不再局限于传统的解题方法，以形助数、以数解形，化抽象描述为形象表达、化困难问题为简单任务，使学生不断创新解题方法，提高问题解决能力.教师应加强数形结合思想的渗透，使学生多实践、巧解题.文章基于数形结合思想在初中数学解题中的优势，从“数与代数”“图形与几何”两个方面，研究数形结合思想下的初中数学解题方法，提出在绝对值、不等式、函数、三角形、面积等问题中，灵活应用数形结合思想的技巧.

【关键词】初中数学；数形结合；解题方法

数和形是数学中最古老、最基本的研究对象，数形结合也是数学中最重要的思想方法之一.数和形在一定条件下发生转化，产生一定联系，即数形结合.以数形结合理解和解决问题，能够有效促进复杂问题的简单化，培养学生的数学思维和问题解决能力.在初中数学中，数形结合同样具有优势.利用数形结合思想解决问题，不仅能丰富解题方法，而且能进一步培养学生思维品质.教师应深入挖掘数形结合思想对初中数学解题的实际作用，帮助学生养成数形结合习惯，提高问题解决能力.

一、数形结合思想在初中数学解题中的优势

数与形的相互转化，一方面是借助数的精确性阐述形的某些属性，另一方面是借助形的直观性阐明数的某些关系.故而在数形结合思想下进行初中数学解题，能够以形助数，亦可以数解形.

数与形的结合，强调将抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系联系在一起.如此进行初中数学解题，既可使抽象的问题描述转化为更形象的表达方式，也可使困难的问题要求转化为更简单的探究任务.学生也能发散思维，以更简便的方式解决问题，创新解题方法.

（一）化抽象为形象

初中数学问题通常侧重于抽象描述，以此提高解题难度，加强学生问题解决能力的培养.从审题分析到解决问题，经常有学生不能充分调动抽象思维.在数形结合思想下，将抽象的数学描述转化为形象的图形表达，能够有效降低审题和分析难度，梳理解题思路.紧接着，学生精准代入已知条件，即可提高解题效率和准确率.

（二）化困难为简单

初中数学问题的复杂性，使许多学生感到困难，不能正确解题.而在数形结合思想下，将复杂问题拆解为更直观的表现形式，能够化困难为简单.通过直接观察，学生能够快速找到解决问题的突破口，将困难的解题过程转化为简单的探究任务，提高问题解决效率.

（三）化守旧为创新

数形结合思想为解决初中数学问题带来新角度，因此在数形结合思想下，学生能够不断克服思维定式.除了“数与代数”“图形与几何”板块的常规解题方法，学生可以多元挖掘其中隐含规律和隐藏联系，开阔解题思路.在此基础上创新解题方法，使学生高质量解决问题，在更深层次上发展思维品质.

二、数形结合思想下的初中数学解题方法

数形结合思想在初中数学中的广泛应用，一般体现在“数与代数”“图形与几何”问题中.故而以数形结合思想丰富初中数学解题方法，应特别关注“数与代数”“图形与几何”两个方面.

（一）数形结合解决“数与代数”问题

初中数学“数与代数”问题，包括“数与式”“方程与不等式”“函数”等.从最基本的绝对值问题，到不等式问题、方程问题、函数问题，都能应用数形结合思想.

1.绝对值中的数形结合

绝对值问题是最基础的初中数学问题.在数轴上，一个数对应的点与原点的距离叫作这个数的绝对值.认识绝对值的概念以数轴为载体，而解决绝对值的问题，同样可以应用数轴.例如北师大版教材七年级上册习题2.3第4题：

数形结合解决绝对值问题，数轴突出数值关系，使学生准确比较大小.计算复杂的绝对值、同时比较多个有理数的大小，可以广泛应用数轴，降低解题难度.

2.不等式中的数形结合

求解多个不等式组、判断多个不等式的解集关系等，都可以借助数轴，实现数形结合.教材特别讲解不等式解集在数轴上的表示方法，从讲解不等式的解集概念到练习不等式及不等式组的求解，可以时刻渗透数形结合思想.

3.函数中的数形结合

方程是函数的基础，函数是方程的延伸.在数量掌握和运用方程知识的基础上，学生应深入探索函数问题，包括一次函数、反比例函数、二次函数等.函数问题的值域、最大值、最小值、增减性、对称性等，都可以通过数形结合的方式进行分析.解决函数问题，可以多元应用数形结合思想.具体而言，针对不同的函数问题，可以绘制相应的函数图像，直观分析和解决问题.

通过直观图像解决抽象的函数问题，使“相遇”具象化，提高解题效率.此外观察图像，在相遇之后，乙不断超越甲，使学生深入思考一次函数图像斜率的数学意义，深化一次函数的理论学习.

（二）数形结合解决“图形与几何”问题

初中数学“图形与几何”问题，包括“图形的性质”“图形的变化”“图形与坐标”等.根据已知条件判断图形的性质，根据图形的坐标与变化计算面积、证明性质等，也能应用数形结合思想.

1.三角形问题与数形结合

三角形作为最基础的多边形，在初中数学教学中占据重要地位.以北师大版初中数学教材为例，七年级下册“认识三角形”“图形的全等”、八年级上册“勾股定理”、八年级下册“三角形的证明”、九年级下册“三角函数”等，都是三角形的核心知识.从判断三角形的基本性质，到证明全等三角形、证明直角三角形和等腰三角形、用勾股定理和三角函数解决问题，都涉及数形结合思想.解决丰富的初中数学三角形问题，可以全面运用数形结合思想.

具体解题中，学生可以根据三角形的几何性质进行代数计算，如正向运用勾股定理，计算直角三角形的斜边长度，也可以通过代数方法，解决复杂的几何问题.

第一，利用三角形的几何性质进行代数计算.通过学习三角形的基础知识，学生已经掌握了三角形的基本公式，如在直角三角形中，用a，b，c分别表示两条直角边和斜边，a2+b2=c2.对应解决边长问题，可以直接利用三角形的几何性质进行代数计算.

例如：已知一个直角三角形，其直角边长分别为8厘米和15厘米，求这个直角三角形的斜边长.

基于图形的基本性质，直接进行代数计算，简化烦琐的分析过程，提高解题效率.

第二，利用代数方法解决三角形的几何问题.利用代数方法解决三角形的几何问题，首先需要根据题目给出的几何条件，建立三角形相关的代数表达式.其次，根据题目的具体要求和已经建立的代数表达式，建立代数方程或方程组.最后解方程，将代数方程的解代回原几何问题，解释和验证原几何问题的正确答案.三角形的边长关系、角度问题、面积分析等，都可以应用代数方法进行解决，体现数形结合思想.在一些题目中，也可以直接对代数表达式进行计算.

例如：一个人由山底爬到山顶，需先爬坡角为40°的山坡300米，再爬坡角为30°的山坡100米，求山坡的实际高度.

根据题意，山坡的实际高度即山底与山顶的垂直距离，因此可以将问题转化为一个直角三角形问题.第一个山坡坡角为40°，边长为300米，需要求出垂直于地面的直角边的长度.第二个山坡坡角为30°，其中斜边长为100米，同样需要求出垂直于地面的直角边的长度.两个山坡的“高度”相加，即为山坡的实际高度.建立关于两条直角边的代数表达式，h1=300×sin40°，h2=100×sin30°，h=h1+h2.直接计算两个代数表达式，即能求出山坡的实际高度h.sin40°≈0.643，sin30°=0.5，h=300×0.643+100×0.5=242.9（米），则山坡的实际高度为242.9米.

通过将复杂的几何问题转化为简单的代数问题，用代数方法进行灵活计算，精准解决具体问题，使学生熟练应用三角形的基础知识.

2.面积问题与数形结合

面积问题贯穿数学学习始终.初中数学中，面积问题的难度系数进一步提高，尤其是“坐标—面积”问题.问题以平面直角坐标系为背景，给出一些具体坐标，要求学生计算相应的图形面积.虽然根据坐标信息，能够确定具体图形，但是图形边长、高度等信息位置，使面积难以直接计算.运用数形结合思想解决问题，先从坐标切入，分析图形的代数关系，再将具体数值代入面积公式，顺利解决问题.

例如：在平面直角坐标系中，四边形ABCD四个顶点的坐标分别为：A（1，2），B（3，4），C（5，2），D（3，0）.求四边形ABCD的面积.

以数解形解决面积问题，准确把握数与形的对应关系，提高问题解决能力.

结 语

总而言之，在数形结合思想下，同时运用抽象思维和形象思维进行解题，能够降低初中数学解题难度，使学生丰富解题方法，提高解题能力.解决初中数学问题，尤其是“数与代数”“图形与几何”问题，可以灵活运用数形结合思想.教师应加强学生的数形结合思想指导，使学生自觉化抽象为形象，化困难为简单，创新解题方法.如此完善初中数学教学，有利于更多学生提升思维品质，达成深度学习目标.

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