例谈尺规作图的应用

摘要： 尺规作图是只使用没有刻度的直尺和圆规作图，利用尺规作图可以确定点的位置，还可以作出特殊的三角形特殊四边形以及分割图形的面积，有利于培养了学生的动手操作能力和逻辑推理能力.

关键词：尺规作图；逻辑推理；动手操作

尺规作图是只使用没有刻度的直尺和圆规作图，利用尺规作图可以解决生活中的实际问题［1］，也可以解决许多几何问题，如作特殊的三角形、特殊四边形、正多边形、特殊角度以及分割图形的面积.它培养了学生的动手操作能力和逻辑推理能力，凸显了几何的严谨性与逻辑性［2］.

1 利用尺规作图确定点的位置

尺规作图在生活中有着广泛的应用.例如：三条公路相交成三角形地带，如何找到一点到三条公路的距离相等.作这个三角形的三个角平分线，角平分线的交点到三条公路的距离相等.如何找一点到这个三角形地带三个顶点的距离相等？作这个三角形三边的垂直平分线，垂直平分线的交点到三个顶点的距离就相等.如何修一条公路与原来的公路平行呢？作一组相等的同位角，也就是利用作一个角等于已知角来解决.

例1 如图1，要在S区建一个集贸市场P，使它到两条公路l1，l2的距离相等，并且到两个村庄A，B的距离也相等，请你通过作图来确定点P的位置．

解析：因为点P到两条公路l1，l2的距离相等，

根据到角两边距离相等的点在角平分线上，所以点P在l1，l2夹角的平分线上.

因为点P到两个村庄A，B的距离也相等，

根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以点P在线段AB的垂直平分线上.因此线段AB的垂直平分线与l1，l2夹角平分线的交点就是点P的位置.如图2所示，连接AB，作出两条公路l1，l2夹角的平分线及线段AB的垂直平分线，两线的交点P即为所求．

评注：本题使用的尺规作图方法我们称之为“交轨法”，即从一个条件出发得到一条直线或射线，再从另一个条件出发得到另一条直线或射线，两条直线或射线的交点即为所求作的点.当然每得到一条直线或射线，都需要进行前期分析与推理，根据图形的性质与所求进行分析与尝试.

2 利用尺规作图作特殊三角形

利用尺规作图可以以已知线段为边作等边三角形，首先作一条线段等于已知线段，然后再分别以线段的两个端点为圆心，以已知线段长为半径画弧，两弧的交点就是第三个顶点；也可以以两条线段分别为等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三角形，首先作一条线段等于已知线段，再作这条线段的垂直平分线，然后在垂直平分线上截取一条线段作为底边上的高，得到第三个端点后连接即可得求作的等腰三角形.利用尺规作图还可以以两条已知线段为直角边和斜边作直角三角形等.

例2 "已知矩形ABCD，请用直尺和圆规在BC上方作一个以BC为斜边的Rt△BPC，其中∠PBC＝30°．

解析：因为直径所对的圆周角是直角，所以以BC为直径作圆，构造BC所对的圆周角就是直角；根据在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半，所以以斜边的一半即半径构造一条直角边.

作法：如图4，先作BC的垂直平分线得到BC的中点O，再以O为圆心，BC为直径作⊙O，然后以点C为圆心，CO为半径画弧，交BC上方的圆弧于点P，则点P满足条件．

评注：在直角三角形BCP中，当连接OP后，可得等腰三角形BOP与等边三角形OPC，发现图形中存在等边三角形，所以本题也可采用“三角形奠基法”，即以线段BC的一半为边长作等边三角形OCP，这样就确定了第三个顶点P，连接BP，则三角形BPC就是所求作的直角三角形.

3 利用尺规作图作特殊四边形

利用尺规作图可以由一个已知角和一条线段画菱形，即先利用作一个角等于已知角画出菱形的一个角，然后在该角的两边上截取相等的线段，最后再画弧，弧的交点就是第四个顶点.同理可以作出平行四边形和矩形等.

例3 如图5，已知平行四边形ABCD.

（1）以BD为对角线，作菱形MBND，使得M，N分别在BA，DC的延长线上．

（2）证明所作四边形MBND是菱形．

解析：（1）因为菱形的对角线互相垂直平分，所以找到BD的中点后再作BD的垂线，垂线与BA，DC延长线的交点就是另两个顶点.如图6，连接BD，AC，令它们交于点O，再过点O作MN⊥BD分别交BA和DC的延长线于点M，N，则四边形MBND即为所求作的菱形.

（2）由作图可得到MN垂直平分BD，再证明△AOM≌△CON，得到OM＝ON，所以MN和BD互相垂直平分，于是可判断四边形MBND是菱形．

由作图可知MN垂直平分BD.

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴OA＝OC，AB∥CD.

∴∠MAO＝∠NCO.

∵∠AOM＝∠CON，

∴△AOM≌△CON（ASA）.

∴OM＝ON.

∴MN和BD互相垂直平分.

∴四边形MBND是菱形．

评注：本题属于复杂作图.复杂作图是指在五种基本作图的基础上作图，一般综合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类问题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．本题也考查了平行四边形的性质和菱形的判定．

4 利用尺规作图分割图形面积

利用尺规作图可以将一个三角形面积二等分，方法是利用作已知线段垂直平分线的方法作三角形任一条边的中点，然后连接中点与对角顶点；也可以将一个三角形面积四等分、八等分，方法仍是利用作已知线段垂直平分线的方法，首先四等分、八等分三角形任一条边，然后连接分点与对角顶点即可.这样作图的理论依据是等底同高的两个三角形面积相等.

例4 如图7，已知△ABC中，AB＝6，AC＝4，D为BC边上一点，请用尺规过点A作一条直线AD，使S△ABD∶S△ADC＝3∶2.

解析：因为AB∶AC=3∶2，若将这两边作为三角形的底边，当它们的高相等时，则它们的面积比就是3∶2，而角平分线上的点到角两边的距离相等，即高相等，所以作∠BAC的角平分线交BC于点D，则直线AD即为所求，如图8．

评注：此题也可以直接考虑将边BC分成3∶2的两部分.因为∠BAC的两边之比为3∶2，根据在三角形中，角平分线分对边所成的两条线段的比等于这个角的两边之比，作∠BAC的角平分线，则角平分线与对边的交点即是对边3∶2的分点.

利用尺规作图也可以作与三角形两边都相切的圆，在半圆内作特殊角度如45°，在等边三角形中作正六边形，等等.在尺规作图问题中，为了找到具体的作图方案，可以先假设图形已经画出，并画出草图，在草图中分析，结合图形性质，将尺规作图分解成几个基本作图.尺规作图题一方面考查尺规作图的基本操作，另一方面考查几何图形的一些性质［3］.

参考文献：

[1]刘志凤.加强尺规作图 发展核心素养[J].中学数学教学参考，2022（27）：19-22.

[2]张万梅.“得法”更要“明理”，追求有逻辑的作图——从中考答卷谈尺规作图教学[J].中国数学教育，2019（23）：31-33，42.

[3]秦小双. 初中生尺规作图能力水平划分及提升研究[D].苏州：苏州大学，2020.