基于逻辑推理素养养成的教学

摘 要：逻辑推理是数学核心素养之一，是得到数学结论、构建数学体系的重要方法，它保证了数学的严谨性.学生通过学习数学知识，掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题，使用严谨的方法解决数学和生产、生活中的问题.数学课堂是培养学生能力、提升素养的重要场所，教学目标的确定要充分考虑核心素养在教学中的达成，每个章节的内容都尽可能对学生的核心素养起到提升的作用.本文以“诱导公式（一）”的教学为例，阐述基于逻辑推理素养养成的教学过程，旨在为教师教学提供参考．

关键词：数学核心素养；诱导公式；逻辑推理

在“诱导公式（一）”的教学过程中，教师根据该内容特点，设定恰当的数学情境与数学问题，使学生在探究公式的过程中，建立良好的知识体系，提升数学运算与逻辑推理能力，提升数学素养.

1 问题提出

从锐角的三角函数出发，希望得到实数范围内的角的三角函数，依据角的终边与单位圆交点坐标之间的关系，得到相关角的三角函数之间的关系，进而得到任意角都可以转化为0～2π，再通过对称性将Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限内的角转化为第Ⅰ象限内的锐角或0度角的三角函数值，达到化繁为简的同时，也掌握了三角函数之间的关系，从而熟练掌握诱导公式．

2 课程内容与目标解析

2.1 本节课的内容

三角函数是基本初等函数之一，人教版教材中把它安排在对数函数、指数函数和幂函数之后.三角函数具有很多独特的性质，是一类最典型的周期函数，在现实生活中应用性也非常广泛.

本节课的主要内容包括：借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值；借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式.通过本节课得出的诱导公式，可以将实数范围内的三角函数值转化为［0，2π］内的角的三角函数值，为后续学习正弦函数、余弦函数、正切函数做铺垫．

2.2 本节课的素养目标

本节课是借助几何直观与三角函数的定义，使用演绎推理的方法推导公式.在师生共同推导公式的过程中，一方面让学生独立地推导出更多、更有趣的公式；另一方面要让学生理解“为什么要推导诱导公式”“从锐角的三角函数值出发，还能得到哪些角的三角函数值”.这是一个从简到繁的过程，但是公式的运用是从一般角到特殊的锐角，是一个从繁到简的过程.

本节课在提升学生演绎推理素养的同时，也培养学生发现问题、总结问题的能力.^［1］教师需培养学生良好的数学表达能力，让学生在清晰地表述角度、终边、坐标之间转换的基础上，完成本节课公式的总结及推导过程.^［2］本节课的逻辑推理素养分为以下三个水平.

水平一：学生基于以往经验，可以求出非特殊的锐角π5的三角函数值，体会直角三角形的边角关系.

水平二：类比锐角三角函数，探究锐角范围之外的角的三角函数，将任意范围角的三角函数通过公式，将其转化为0，π2内的角的三角函数.

水平三：能够理解构建数学体系的公理化思想，能够理解不同角度之间三角函数之间的逻辑关系，初步建立网状的知识结构．

3 教学过程

3.1 创设情境引入新课

师：初中我们学过很多角的知识，其中就包括一些特殊角，那特殊角有哪些？

生：30°、45°、60°、90°、135°、180°.

师：这些角现在我们可以用弧度制表示为π6、π4、π3……初中我们研究过这些特殊角的三角函数值，现在我们来思考一下如何估算非特殊角π5的三角函数值？

【设计意图】回顾初中知识，拉近新知识与以往知识的距离，帮助学生投入新课的学习中，使用三角函数的新定义来解决锐角三角函数的估值问题.

例题 已知α=π5，你能否根据三角函数的定义，估算sinα的值.

在平面直角坐标系中，通过量角器绘制出角π5，它的终边与单位圆交点的纵坐标的值即为sinπ5，也可以求出cosπ5，tanπ5的值.

【设计意图】旨在复习回顾三角函数的定义，并用三角函数的定义来解决问题.由三角函数的定义，可将“求角的三角函数值”问题转化为“平面直角坐标系中，单位圆与角的终边交点坐标”问题.要研究两个“相关角”的三角函数值的关系，可以转化为研究角的终边与单位圆交点坐标问题，进而转化为图形问题．

师：角的范围从［0，2π］拓展到了全体实数，根据锐角π5的三角函数值，你还能得到哪些角的三角函数值？

生：π5+2π，π5+4π，π5-2π……

师：为什么你能得到这些角的三角函数值？

生：因为这些角和角π5的终边相同，与单位圆交点坐标相同.终边相同的角的三角函数值是相同的.

师：因此，我们可以得到sinπ5+2kπ=sinπ5=y.那当π5为任意角α时，这个公式还成立吗？余弦值和正切值也有这样的结论吗？

在平面研究一个角的三角函数值，转化为求角的终边与单位圆的交点P，因此把角α的三角函数值转化为研究点P的坐标.经过师生共同探究得到下面的诱导公式（一）.

sin（α+2kπ）=sinα，cos（α+2kπ）=cosα，tan（α+2kπ）=tanα，其中k∈Z．

3.2 引领探究

师：终边相同的角的三角函数值相同，那些终边不相同的角，如α+π和α的三角函数值有关系吗？

生：α+π的终边与α的终边互为反向延长线，α+π的终边与单位圆的交点P1，我们记P1的坐标为（-x，-y），那么sin（α+π）=-yr=-y=-sinα，cos（α+π）=-xr=-x=-cosα，tan（α+π）=-y-x=yx=tan α.

师：这组公式有什么作用？

生：可以算任意角加上2kπ或加π之后的三角函数值，通过该公式可以将第三象限角的三角函数值转化为第一象限角的三角函数值.

师：可以达到化简角的目的，化简成锐角或我们熟悉的角，再研究起来比较方便．

3.3 类比探究

师：角α转化到α+π，它们的终边关于坐标原点对称.我们以前还学过什么对称形式？

生：关于直线对称.

师：非常好，现在动笔在学案上画角α的终边关于y轴、关于x轴对称后得到角的终边，以及终边所对应的角的三角函数值与角α有什么关系？

教师请两位学生在黑板上作图、标注，并巡视其他学生作图情况.

师：原来的α终边关于x轴对称后的角可以记为β=-α，仿照第一个图象，大家推导一下使用α来表示-α的三角函数值.

请一位学生在黑板上书写推导过程，教师巡视.

师：将-α的三角函数值推导出来之后，大家观察一下，它与α的三角函数值有什么关系？

生：sin（-α）=sinβ=-y=-sinα，cos（-α）=cosβ=x=cosα，tan（-α）=-yx=-yx=-tanα.

师：同理，我们来看α的终边关于y轴对称会得到哪个角？它的三角函数如何表示？

生：得到射线可以作角π-α的终边，终边与单位圆的交点P2与P（x，y）关于y轴对称，所以P2的坐标为（-x，y），由三角函数的定义可得以下公式.

sin（π-α）=y=sinα，cos（π-α）=-x=-cosα，tan（π-α）=y-x=-yx=-tanα.

3.4 总结升华

师：这四组公式中，三角函数名没变，角的数值发生了改变.回头再看刚开始的问题，为什么把β化成α+2kπ这样的形式呢？有什么作用吗？

生：我们想化成和它终边相同的角，可以把一个复杂的角115π化为锐角15π，把复杂的角化为简单角.通过“+2kπ”可以将任意一个β转化到一个［0，2π）范围内的角.

师：这位同学说得非常好，那第二组公式有什么作用？

生：可以将第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数.

师：第三组、第四组公式有什么作用？

生：可以将第四象限角化为第一象限角，将第二象限角化为第一象限角.

师生诱导公式小结：

通过诱导公式，我们可以将实数范围内任意角的三角函数转化为锐角或0度角的三角函数，使三角函数求值问题的解决更简单、更直观．

3.5 课堂例题

例1 求下列三角函数值.

（1）sin-π3；（2）cos-7π6；（3）tan62π3.

例2 化简：sin（α-2π）tan（π+α）cos（-α）sin（-α+π）．

通过例题的练习，帮助学生应用、熟悉、掌握诱导公式的形式和使用．

3.6 课堂小结

通过上面四组诱导公式的转换，我们可以将任意角的三角函数转化为相应锐角或0度角的三角函数，达到了化简的目的，这也是我们解决很多数学问题的一个重要思想方法.在公式推导的过程中，要重视三角函数的定义以及对称图形的应用．

4 教学反思

本节课是人教版《普通高中教科书数学必修第一册》中“诱导公式”的第一节课，重点是研究终边具有对称性的两个角的三角函数值之间的关系，同时总结出研究思路，体会角度变化的过程中三角函数值的周期性，在落实诱导公式前四组公式教学的同时，提升学生的逻辑推理素养.^［3］笔者认为基于逻辑推理素养养成的数学课堂教学设计应该关注以下两个关键行为．

4.1 重视设计问题情境引发学生思考

课堂要以学生知识与生活经验为基础，遵循他们认知特点.学生根据三角函数的定义，通过作图、测量来估算锐角π5的正弦值、余弦值和正切值.教师要调动学生学习的积极性，将问题进一步延伸，即根据锐角π5的三角函数值能得到哪些更大范围的角的三角函数值.特殊情况研究清楚之后，将sinπ5+2kπ=sinπ5推广到任意角，得到sin（α+2kπ）=sinα，cos（α+2kπ）=cosα，

tan（α+2kπ）=tanα，其中k∈Z.

这正是逻辑推理中的由特殊到一般的情况，属于归纳、类比.通过该公式可以将度数较大的角115π化为较小的锐角15π来研究，化繁为简．

4.2 重视核心问题的提出与解决

课堂教学要循序渐进，要为学生探究活动“搭好台阶”.教师提出的问题就是思维的台阶.^［4］教学中，学生的思维方向是多样的、发散的，而且个别学生的思维可能没有好的方向，也并不知道该如何将一个实数范围内的角的三角函数进行化简，所以教师要在课堂中，通过问题的形式帮助学生指引一个方向.核心问题的设计要注意以学生已有认知为基础，不能脱离学生学情；核心问题的提出要有梯度、有层次，循序渐进到有挑战，努力让学生参与问题的提出或解决．^［5］

参考文献

［1］章建跃.数学思维品质的培养与逻辑推理素养的发展［J］.中学数学教学参考，2020（22）：11-16．

［2］章建跃.数学思维品质的培养与逻辑推理素养的发展（续）［J］.中学数学教学参考，2020（25）：10-14．

［3］李昌官.逻辑推理素养及其培养［J］.中学数学教学参考，2023（1）：10-13+18．

［4］张淑梅，何雅涵，保继光.高中数学核心素养的统计分析［J］.课程·教材·教法，2017（10）：50-55．

［5］张晓东，王铭阳.新高考试题中数学核心素养立意分析及启示——以2020-2023年教育部考试院命制的8套数学试题为例［J］.数学教育学报，2023（6）：52-59．