多元表征视域下初中数学教学研究

摘 要：随着基础教育课程教学改革的深入发展及创新研究，数学多元表征学习受到越来越多人的关注，其不仅可以帮助学生更好地进行深度学习，还能够深化学生对数学知识点的理解，有效帮助学生提升数学素养，增强数学教学的有效性.

关键词：多元表征；教学有效性；初中数学

二次函数作为初中函数教学中的重要组成部分，其不仅是重要的函数知识点，还具有广泛的应用，能够帮助学生有效地解决几何问题，并对学生的分类讨论思想及数形结合思想有着重要影响.基于二次函数承上启下的作用，现针对人教版《义务教育教科书数学九年级上册》第二十二章的“二次函数的图象和性质”进行教学过程的陈述，实现对之前所学一次函数知识点的进一步补充，并首次系统化地对二次函数的图象及性质进行分析研究，便于为后续二次函数知识点的学习奠定基础.^［1］在具体的课程设计中，教师要充分利用多元表征的内涵开展教学活动，进一步让学生能够透过课程表象，掌握其中蕴含的数形结合思想、数学模型思维、类比思想等，进而让学生能够有效地形成运用所学知识解决实际数学问题的能力.另外，在该教学设计中，借助二次函数的特殊性质更深入地理解函数行为和特征，是学生开展高阶数学学习的基础.通过对二次函数的灵活运用，可有效实现数学函数教学目标．本文以“二次函数”为例，基于多元表征要素，对数学课堂教学有效性进行深入探究，力求能够运用有限的课堂时间，让学生获得最大化的学习效益.

1 明确教学目标，梳理课程重难点

根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》中的指导要求，并结合本节课的教材内容及知识点特征，笔者对课程内容进行分析.九年级学生已经掌握了初中数学一次函数的相关知识点，能够对数学概念及定理的理解产生自主的认知，能够运用数学思维和数学语言进行基础知识的探究与学习.因此，可将本节课的教学目标及教学重难点设计如下，用以作为衡量教学有效性的基准．

1.1 教学目标

本节课的教学目标如下.

（1）知识与技能目标：能够精准掌握和理解二次函数的图象，并根据图象的基本特征要素，对二次函数的性质进行分析和总结.

（2）过程与方法目标：能够让学生对二次函数的图象及性质形成自主探索和研究，较全面地掌握二次函数的性质，有效培养学生的观察能力，并锻炼学生的解题能力.

（3）情感态度与价值观目标：能够在二次函数图象和性质的探索过程中，体会数形结合思想，并借助小组合作学习互动，让学生具备团队协作精神；能够掌握问题解决的方法，并在教学活动中提升创新力．

1.2 教学重难点

本节课的教学重难点如下.

教学重点：可使用描点法进行二次函数图象的绘制，并对二次函数y=ax2的图象特点和性质进行解读．

教学难点：

正确理解二次函数y=ax2的图象特点及性质，能够运用数学知识解决简单变量的二次函数关系式.

结合该课程的教学重难点，教师可运用多元表征教学手段，提升课程设计的教学有效性，并尽量让学生进行自主动手探索，使其能够对二次函数的图象及性质形成更深刻的理解，并在探索中发现其中的规律，进而获得数学思维的培养．

2 创设问题情境，形成直观感知

教师在本节课的课程导入环节中，可借助多媒体课件回顾一次函数的图象和性质，并对一次函数的研究方法进行归纳总结，引导学生进行研究方法的迁移应用，实现对二次函数图象和性质的研究.^［2］为了更进一步增强学生的体验感，教师可利用电子白板让学生对一次函数图象进行绘制并提出以下问题，实现有效的复习和回顾.

问题1 y=kx+b（k≠0）是一次函数基本式，请大家概述之前是如何研究一次函数图象与k值规律特征的？

问题2 借助此种研究方法的迁移，对二次函数y=ax2的图象及性质进行研究，探究二次函数有什么图象特点及性质？

教师组织开展小组学习互动，让学生类比一次函数的研究方法，运用图象法进行二次函数图象的研究.学生可在小组内对二次函数的图象进行绘制和观察，并结合讨论结果总结出图象形状、特点，进而总结出二次函数的图象规律及性质.

【设计意图】该环节的设计中，教师引导学生调用以前一次函数知识点学习过程中的研究方法，进行新知的引入，用最直观的图象表征让学生对新知内容快速理解.设计中能够较为清晰地辨识教师想要达到的教学目的，即借助视觉直观表征方式，引发学生对课程新知内容的探索，有效降低新知识点的学习难度，便于激发学生的学习成就感，让其能够更好地参与后续的学习互动.该环节进行的表征设计能够紧扣课程教学主题．

3 组织体验活动，加强画图操作探究

该环节设计主要针对二次函数y=x2的图象绘制，以及图象的特点探究.

活动1：教师组织学生对二次函数y=x2的图象进行画图操作，并帮助学生亲身感受二次函数图象的绘制过程.其中，绘制过程主要有两大步骤：一是“列表”，主要是引导学生对二次函数y=x2的自变量进行取值范围设定，并利用列表法进行标注；二是“描点和连线”，该步骤主要是对应列表中的取值，并根据取值进行直角坐标系的描点及连线.学生已经在之前的学习中掌握基本操作方法，可以顺利得到函数y=x2图象（如图1）.教师要注重该实操活动中对学生操作步骤的规范指导.

活动2：以小组为单位，对二次函数的图象进行观察和分析.教师要引导学生进行观点的表述，进而引发学生对二次函数y=x2图象基本特征进行描述，可从开口方向、对称轴、坐标原点等要素进行内容分析.同时，教师可引导学生对二次函数进行变式，对a 进行赋值，并引导学生沿用刚才的方法进行图象绘制.小组讨论函数图象的变化，最终学生可发现二次函数图象会随着a值改变而改变的规律.为了更进一步引导学生对函数的性质及变化特征进行归纳总结，可让小组针对函数图象“变”与“不变”的关系进行探究，进而能够让学生更加深刻地理解二次函数图象性质，并有效锻炼学生的思维能力.

【设计意图】在该环节的教学设计中，借助动手实践操作及小组合作学习，围绕教师提供的预设任务进行深入探索和思考，能够让学生更深刻地掌握和理解新知内容.实际动手操作中，教师要鼓励学生运用多种表征方式进行探究，如图象表征、列表表征等，力求能够让学生通过多种表征方式的呈现与转换，形成独特的学习体验，凸显多元表征在数学教学中的重要作用，以及多元表征对学生解题思维的影响.^［3］另外，借助课堂上开展的小组合作学习，能够一定程度上引发学生的主动思考，便于学生对二次函数的图象及性质形成更深刻的理解．

4 加强师生互动，鼓励自主归纳

为了更进一步巩固新知内容，教师可借助生活中的实际问题，引发学生的共同探索.例如，借助篮球运动中投篮轨迹特征的探索，进一步对二次函数的图象特点进行归纳.

活动1：教师可利用多媒体课件展示篮球运动中投篮的运动轨迹，借助动画模拟效果创设教学情境，让学生形成更为直观的体验，并组织学生开展小组讨论.

活动2：鼓励学生进行观点的表达，引导学生将篮球抽象成一个质点，并借助数学模型思想，寻找篮球运动的轨迹与二次函数图象的关联性.教师可结合微课视频，向学生展现数学模型表征，便于进行下一步的探究，让学生总结篮球运动轨迹的相关特征（如图2）.

活动3：借助图象模型表征的展现，可引导学生运用数学语言进行图象特点的描述，锻炼学生数学模型思维，使学生能够自主地根据图象进行y 轴的预设，并形成对运动轨迹特点的总结和归纳，并将其抽象为二次函数图象.

【设计意图】该环节的设计，能够有效地锻炼学生的数学模型思维和类比归纳意识.教师借助现实生活中常见的事物，构建实物表征和模型表征，能够一定程度上实现生活中数学知识的具象化，便于学生形成数学与生活之间关联的认识，降低学生对函数知识的理解难度.此种具体到抽象的演变过程，能够让学生的数学认知水平得到发展，有助于提升学生用数学的眼光观察现实世界的能力．

5 开展辨析交流，引发深入探究

该环节设计中，可借助预设问题，引发学生的深入探究与交流.

问题1 根据教材例1的两个函数式，将其在同一直角坐标系中进行体现，并观察其中的异同点？若设定a≥0，二次函数y=ax2图象有何特征变化？

问题2 根据教材中“探究”的内容，进行函数图象的绘制，并分析其存在什么异同点？

活动1：学生

可参照函数y=x2图象绘制过程，

利用列表法和描点法对问题1中的图象进行绘制.对于问题2，学生总结二次函数y=ax2图象的对称轴、顶点位置，并小组讨论二次函数图象开口大小与二次项系数的关系，进而总结两者的联系（如图3）.

活动2：教师可利用电子白板将这三个函数图象进行对比展现（如图4），便于学生较为直观地进行对比和探究.教师可引导学生从图象开口方向及开口宽窄差异等方面进行思考，进而让其能够明确二次项系数a的正负取值，对函数图象开口方向的影响，以及a值变化与图象开口宽窄的关系.最终让学生自主得出以下结论：当a＞0时，抛物线开口朝上；当a＜0时，抛物线开口朝下；且|a|越大，图象开口越窄.

图4 二次函数开口方向探究过程示意图

【设计意图】此种对比表征的运用，使学生更加直观地对函数图象进行感知，能够帮助学生快速地进行图象特点的总结，有助于锻炼学生的观察和推理能力.教师在该环节充分运用电子白板等信息化的教学工具，便于巧妙地展现数学知识点的多元表征，进一步培养学生的数学核心素养．

6 借助表征转换，实现新知巩固

完成知识点的基本探究后，教师可利用以下问题，帮助学生应用表征思维解决问题.

问题1 在同一直角坐标系中，画出下列函数图象：y=4x2，y=-4x2，y=14x2，y=-14x2，并总结快速绘制图象的方法.

问题2 说出函数y=1.25x2图象的开口方向、对称轴、顶点，总结y=-1.25x2的函数值y随自变量x的变化规律.

活动1：运用所学的二次函数图象绘制方法，对函数图象进行绘制.教师要引导学生思考函数式的关系，帮助学生发现其中的关联性，即对应组的函数式a值为相反数.因此，在进行快速绘制过程中，只需利用描点连线法绘制其中一个函数图象，便可借助其轴对称的图象特征，进行快速地绘制（如图5）.

活动2：同理，问题2中的y值可随自变量x 的变化规律，可根据a值为相反数的规律联系，进行相应的变化规律总结，得到结论为y=1.25x2以对称轴为界，左侧图象走势随x增大而下降，在对称轴右侧图象走势随x增大而升高.y=-1.25x2则与y=1.25x2的变化相反，对称轴左侧图象随x增大而上升，对称轴右侧图象随x增大而呈现下降趋势.

【设计意图】该环节的设计能够进一步让学生对所学知识进行巩固，并结合二次函数性质，发现a值对函数图象性质的影响.教师可在该环节的教学中充分运用图象表征，引发学生进行类比分析，快速地发现其中蕴含的符号规律，为学生有效地揭示二次函数图象的本质，发挥符号表征的价值，进而帮助学生快速地进行数学规律的总结，并形成较强的解决问题的能力，实现表征方式的转换．

7 做好课堂总结，加强拓展延伸

课堂总结环节中，教师可引导学生对所学知识进行自主的总结，并鼓励学生用数学语言进行表述，有效地归纳和总结二次函数y=ax2图象的性质及特征.学生能够在教师的引导下对本节课的内容进行总结，即二次函数y=ax2的图象是一个开口朝上或朝下的抛物线，与a值有直接关系，a＞0时，开口朝上;a＜0时，开口朝下，并作为对称图形，具有相应的关系属性.教师还可在该环节中引导学生进行知识的延伸与拓展，引导学生用类比的方法，对二次函数进行深入探索.已知正比例函数y=kx 与一次函数y=kx+b 图象之间的平行关系，可尝试使用同样的研究方法，判断y=ax2的图象与y=ax2+bx+c 的图象是否存在类似平移关系.

【设计意图】该环节的设计能够充分发挥学生的主体性，让其对课堂所学知识进行总结归纳，便于培养学生的表征思维，锻炼学生总结能力和推理能力.

上述教学设计，能够充分结合多元表征推进二次函数图象和性质的展现，引发学生对图象和性质的自主探究和学习，有助于启发学生的表征思维，能够有效地提升数学课堂的有效性.但在课堂教学中，部分学生对于多元表征的把握并不充分，还需教师在后续的教学中，更注重表征的应用，方能进一步强化多元表征教学的有效性．

8 结语

多元表征在数学教学中具有重要的作用，其不仅可以增强初中数学教学的有效性，还能够降低课程教学难度，让学生更快速地掌握知识点.因此，教师应当进一步加强对多元表征的研究和应用，从表征内容、表征方式和表征思维等维度，进行数学教学框架的设计，并在数学课堂教学中，引导学生进行表征的转换，进一步增强初中数学教学中多元表征的应用.同时，多元表征可一定程度上提升教学活动的针对性，让教学过程更具有效性，有效实现初中数学的教学目标．

参考文献

［1］金敏，李娜，范良火.数字课程资源对学生数学学习的影响——以“二次函数的图象和性质”为例［J］.数学教育学报，2024（3）：34-39．

［2］周存兰.加强多元表征策略研究，提升几何直观核心素养［J］.中学数学，2024（4）：40-41．

［3］宋雨阳，孙海.浅谈多元表征下的一题多解——由一道中学几何题引发的思考［J］.数理天地（初中版），2023（1）：23-25．