探究本质 提炼方法：二次函数最值问题的探究

摘要：二次函数在初中数学中占据着举足轻重的地位，在解决有关二次函数的最值问题时，应着重强调思维方法的训练，引导学生在实践中不断尝试、反思与总结，从而真正实现知识的内化与迁移.尤其是围绕最值问题的探讨，不仅是对学生数形结合与分类讨论思维能力的深刻考验，也是日常学习与考试中频繁亮相的难点与亮点.掌握二次函数最值问题的求解策略，不仅是深化对初中数学的理解的关键一步，更是为学生将来在高中阶段深入学习更复杂的函数理论铺设了坚实的基石，为未来的学习铺就更加宽广的道路.

关键词：二次函数；分类讨论；最值

1 对称轴定且自变量取值范围定

在探讨二次函数的最值问题时，一个常见的情境是“轴定区间定”，即已知或可推导出二次函数的解析式，并明确了该函数的定义域为给定的区间.面对这样的题目，解题的关键在于结合二次函数的图象特征和性质，深入分析该函数在给定区间内的行为表现，从而准确求出其最值.

另外还需要注意一些特殊情况，比如定义域恰好包含对称轴但又不完全对称的情况，此时需要仔细比较区间端点与顶点处的函数值，以确定最值的具体位置.

例1""（2024·江苏南京初三检测）已知二次函数y=12x2－3x+4．

（1）在如图1所示的直角坐标系中画出函数图象，并指出当ylt;0时x的取值范围；

（2）当0≤x≤4时，求出y的最小值及最大值．

解析：（1）根据已知条件，y=12x2－3x+4

=12（x2－6x）+4=12（x－3）2－12，所以抛物线的开口向上，顶点为3，－12，对称轴为直线x=3.

函数图象如图2所示.由图象可知，当ylt;0时，x的取值范围为2lt;xlt;4．

（2）根据已知可得，当0≤x≤4时，图象的最低点为3，－12，最高点为（0，4）.所以当x=0时，y有最大值4，当x=3时，y有最小值－12．

点评：“轴定区间定”的二次函数最值问题，实质上是通过综合运用二次函数的图象与性质、单调性的判断以及代数运算等知识，对函数在给定区间内的特点进行深入剖析，从而准确求解出函数的最值.

2 对称轴动且自变量取值范围定

在解决“轴动区间定”的二次函数最值问题时，虽然根据已知条件求得了二次函数的解析式，但自变量x的取值范围包含了一个或多个参变量，这些参变量的不同取值会直接影响到截取的二次函数图象部分，进而改变函数在该区间内的最值情况.

另外在求解的过程中，还需要注意对一些特殊情况的处理，比如当对称轴恰好穿过区间中点但函数图象又不完全对称时，或者当区间端点恰好位于对称轴上时，这些情况都可能对最值的求解产生特殊影响.

例2""（2024·浙江杭州初三联考）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=－12x2+bx+c的图象经过坐标原点O和点A（4+a，0），其中a≥0．

（1）当a=0时，求y关于x的函数表达式，并求出当x为何值时y有最大值，以及最大值是多少？

（2）当agt;0时，在0≤x≤4范围内，y是否存在最大值10？若存在，求出相应的a和x的值；若不存在，请说明理由．

解析：（1）当a=0时，点A（4，0），把O（0，0），A（4，0）的坐标代入y=－12x2+bx+c中，得c=0，－8+4b+c=0，解得b=2，c=0，所以y关于x的函数表达式为y=－12x2+2x.

因为y=－12（x－2）2+2，

所以当x=2时，y有最大值，最大值为2．

（2）在0≤x≤4范围内，y存在最大值10.理由如下：因为二次函数的图象经过原点O和点A（4+a，0），a＞0，所以c=0，－12×（4+a）2+b（4+a）+c=0，也即b=12（4+a），c=0.故y=－12x2+12（4+a）x=－12×x－4+a22+（4+a）28．所以抛物线的对称轴为直线x=a+42．又a＞0，所以a+42≥2.

①若a+42≥4，即a≥4，则当x=4时，函数y=－12x2+12（4+a）x取得最大值．

所以－12×42+12（4+a）×4=10，解得a=5．

所以当a的值为5，x的值为4时，y取得最大值10.

②若0lt;a+42lt;4，即0lt;alt;4，则

当x=a+42时，函数y=－12x2+12（4+a）x取得最大值．

所以（4+a）28=10，解得a=－4－45（小于0，舍去）或a=－4+45（大于4，舍去）.

综上所述，当a的值为5，x的值为4时，y取得最大值10．

点评：“轴动区间定”的二次函数最值问题要求学生具备较高的数学素养和解题技巧，包括但不限于对函数图象特征的深刻理解、对参数讨论的熟练掌握，以及对复杂问题的分类讨论和特殊情况处理能力.

3 对称轴定且自变量取值范围动

在“轴定区间动”的二次函数最值问题中，我们面对的是一个既有一定确定性又充满变化性的挑战.由于解析式中含有参数，这些参数的不同取值会导致二次函数的图象发生变化，进而可能影响函数在区间内的最值情况，解题过程中需要特别注意.

例3""（2024·山东临沂初三模拟）如图3，抛物线y=ax2－4ax+3a交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，OB=OC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当t≤x≤t+4时，函数的最大值是α，最小值是β，α－β=6，求t的值．

解析：（1）令y=0，

即ax2－4ax+3a=0，解得x1=1，x2=3.

所以OA=1，OB=3.

因为OB=OC，所以点C（0，3）.将点C的坐标代入y=ax2－4ax+3a中，可得a=1，所以抛物线的解析式为y=x2－4x+3．

（2）根据（1）可知，抛物线的解析式为y=x2－4x+3，故对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，－1），

函数图象开口向上.

当t≤x≤t+4时，函数的最大值是α，最小值是β，a－β=6.

①当对称轴在x=t的左侧，即tgt;2时，

可知最小值β=t2－4t+3，最大值α=（t+4）2－4（t+4）+3，此时a－β=（t+4）2－4（t+4）+3－（t2－4t+3）=6，

解得t=34（舍去）.

②当对称轴在x=t+4的右侧，即t+4lt;2，tlt;－2时，最小值β=（t+4）2－4（t+4）+3，最大值α=t2－4t+3，此时有α－β=t2－4t+3－［（t+4）2－4（t+4）+3］=6，

解得t=－34（舍去）.

③当对称轴在x=t与x=t+4之间，即tlt;2lt;t+4，即－2lt;tlt;2，此时最小值β=－1，最大值α=t2－4t+3或α=（t+4）2－4（t+4）+3，则t2－4t+3－（－1）=6或（t+4）2－4（t+4）+3－（－1）=6，

解得t=6－2或－6－2（舍去）或t=6+2（舍去）或－6+2.

综上，t=6－2或－6+2．

点评：在解答过程中要特别关注那些使二次函数图象发生“质变”的参数取值点，如对称轴与区间边界重合、开口方向改变等.这些点往往是分类讨论的临界点，也是求解最值的关键所在.

4 归纳总结

对于二次函数在不同条件下的最值求解问题，不仅考查学生对二次函数基本性质的理解，还要学会运用数形结合法，将抽象的数学问题转化为直观的图形问题，从而更清晰地看到问题的本质.

总之，熟练掌握二次函数在不同条件下的最值求解问题不仅对学生当前的学习有帮助，还能为他们日后学习

更复杂的数学知识奠定基础.因此，我们应该重视这类问题的教学和研究工作，努力提升学生的数学素养和综合能力.